As perguntas implícitas são: transformar as desigualdades em igualdades (introduzindo variáveis auxiliares) e garantir a forma padrão (igualdades com todos os coeficientes de variáveis não-negativos quando apropriado, e vetor lado-direito não-negativo).
Passo 2
Vou explicar o que significa “forma padrão” que vou usar aqui (padrão comum em aulas de programação linear):
Ter o problema escrito como um problema de maximização com restrições na forma de igualdades:
A x = b
com todas as variáveis não-negativas:
x \ge 0,
e com o vetor b (termos do lado direito) preferencialmente não-negativo.
Para obter igualdades a partir de desigualdades do tipo \le adiciona-se uma variável de folga (slack) não-negativa. Para desigualdades do tipo \ge pode-se multiplicar por -1 para virar \le ou transformar diretamente subtraindo uma variável de excesso (surplus). Sempre que uma desigualdade tiver RHS negativo, é conveniente multiplicar por -1 para obter RHS positivo antes de introduzir variáveis auxiliares — isso deixa o vetor b com entradas não-negativas, que é a convenção usual.
Explicando de forma bem simples:
Slack: se \;a^T x \le b\; então escrever a^T x + s = b com s \ge 0.
Surplus: se \;a^T x \ge b\; então escrever a^T x - s = b com s \ge 0 (ou multiplicar por -1 e usar slack).
Passo 3
Tratar cada restrição para garantir RHS não-negativo e escolher a conversão adequada.
Restrição (1): já é \le e RHS =8 (positivo), então usaremos um slack.
Restrição (2): é \;3x_{1}-2x_{2}\ge -18. O RHS é -18 (negativo). Multiplico a desigualdade por -1 para obter RHS positivo:
-3x_{1}+2x_{2} \le 18.
Agora é uma desigualdade \le com RHS positivo — adicionamos um slack.
Restrição (3): é \;2x_{1}+x_{2}-2x_{3}\le -4. O RHS é -4 (negativo). Multiplico por -1:
-2x_{1}-x_{2}+2x_{3} \ge 4.
Agora temos uma desigualdade \ge com RHS =4 (positivo). Para transformá-la em igualdade podemos subtrair uma variável de excesso (surplus).
s_{2} para a folga da restrição (2) após multiplicar por -1,
s_{3} para o surplus (variável de excesso) da terceira restrição (após multiplicar por -1).
Todas as variáveis auxiliares satisfazem s_{1},s_{2},s_{3}\ge 0.
Converter cada restrição em igualdade:
Da (1): \;x_{1}-2x_{2}+x_{3}\le 8\; adicionando slack s_{1}:
x_{1}-2x_{2}+x_{3}+s_{1}=8.
Da (2) (após multiplicar por -1): \;-3x_{1}+2x_{2}\le 18\; adicionando slack s_{2}:
-3x_{1}+2x_{2}+s_{2}=18.
Da (3) (após multiplicar por -1): \;-2x_{1}-x_{2}+2x_{3}\ge 4\; transformando em igualdade subtraindo surplus s_{3}:
-2x_{1}-x_{2}+2x_{3}-s_{3}=4.
Observação didática: embora a terceira igualdade tenha um sinal “-s_{3}” (porque era \ge), a variável s_{3} continua sendo exigida não-negativa. Isso é normal: o surplus aparece com sinal negativo na igualdade.
Passo 5
Reescrever o objetivo incluindo as variáveis auxiliares (coeficientes zero para elas). O objetivo original é
\max f = -2x_{1}-x_{2}+5x_{3}.
Em forma padrão, explicitamos que as variáveis extras têm custo zero:
\max f = -2x_{1}-x_{2}+5x_{3}+0\cdot s_{1}+0\cdot s_{2}+0\cdot s_{3}.
As variáveis de decisão finais (todas não-negativas) são: