Reescreva os seguintes programas lineares (PL) na forma padrão:
\left\{\begin{aligned} \max & f=-2 x_{1}-x_{2}+5 x_{3} \\\ \text { s.a. } & x_{1}-2 x_{2}+x_{3} \leq 8 \\\ & 3 x_{1}-2 x_{2} \geq-18 \\\ & 2 x_{1}+x_{2}-2 x_{3} \leq-4 \\\ & x_{1}, x_{2}, x_{3} \geq 0\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado pede para reescrever o seguinte programa linear na forma padrão. Vou listar claramente o que o enunciado dá:
  • Objetivo:
\max f = -2 x_{1} - x_{2} + 5 x_{3}
  • Restrições:
\begin{aligned} & (1)\quad x_{1} - 2 x_{2} + x_{3} \leq 8,\\\ & (2)\quad 3 x_{1} - 2 x_{2} \geq -18,\\\ & (3)\quad 2 x_{1} + x_{2} - 2 x_{3} \leq -4, \end{aligned}
  • Condição das variáveis:
x_{1},\, x_{2},\, x_{3} \geq 0.
As perguntas implícitas são: transformar as desigualdades em igualdades (introduzindo variáveis auxiliares) e garantir a forma padrão (igualdades com todos os coeficientes de variáveis não-negativos quando apropriado, e vetor lado-direito não-negativo).

Passo 2

Vou explicar o que significa “forma padrão” que vou usar aqui (padrão comum em aulas de programação linear):
  • Ter o problema escrito como um problema de maximização com restrições na forma de igualdades:
A x = b
com todas as variáveis não-negativas:
x \ge 0,
e com o vetor b (termos do lado direito) preferencialmente não-negativo.
  • Para obter igualdades a partir de desigualdades do tipo \le adiciona-se uma variável de folga (slack) não-negativa. Para desigualdades do tipo \ge pode-se multiplicar por -1 para virar \le ou transformar diretamente subtraindo uma variável de excesso (surplus). Sempre que uma desigualdade tiver RHS negativo, é conveniente multiplicar por -1 para obter RHS positivo antes de introduzir variáveis auxiliares — isso deixa o vetor b com entradas não-negativas, que é a convenção usual.
Explicando de forma bem simples:
  • Slack: se \;a^T x \le b\; então escrever a^T x + s = b com s \ge 0.
  • Surplus: se \;a^T x \ge b\; então escrever a^T x - s = b com s \ge 0 (ou multiplicar por -1 e usar slack).

Passo 3

Tratar cada restrição para garantir RHS não-negativo e escolher a conversão adequada.
Restrição (1): já é \le e RHS =8 (positivo), então usaremos um slack.
Restrição (2): é \;3x_{1}-2x_{2}\ge -18. O RHS é -18 (negativo). Multiplico a desigualdade por -1 para obter RHS positivo:
-3x_{1}+2x_{2} \le 18.
Agora é uma desigualdade \le com RHS positivo — adicionamos um slack.
Restrição (3): é \;2x_{1}+x_{2}-2x_{3}\le -4. O RHS é -4 (negativo). Multiplico por -1:
-2x_{1}-x_{2}+2x_{3} \ge 4.
Agora temos uma desigualdade \ge com RHS =4 (positivo). Para transformá-la em igualdade podemos subtrair uma variável de excesso (surplus).

Passo 4

Introduzir variáveis auxiliares não-negativas. Vou chamar:
  • s_{1} para a folga da primeira restrição,
  • s_{2} para a folga da restrição (2) após multiplicar por -1,
  • s_{3} para o surplus (variável de excesso) da terceira restrição (após multiplicar por -1).
Todas as variáveis auxiliares satisfazem s_{1},s_{2},s_{3}\ge 0.
Converter cada restrição em igualdade:
  • Da (1): \;x_{1}-2x_{2}+x_{3}\le 8\; adicionando slack s_{1}:
x_{1}-2x_{2}+x_{3}+s_{1}=8.
  • Da (2) (após multiplicar por -1): \;-3x_{1}+2x_{2}\le 18\; adicionando slack s_{2}:
-3x_{1}+2x_{2}+s_{2}=18.
  • Da (3) (após multiplicar por -1): \;-2x_{1}-x_{2}+2x_{3}\ge 4\; transformando em igualdade subtraindo surplus s_{3}:
-2x_{1}-x_{2}+2x_{3}-s_{3}=4.
Observação didática: embora a terceira igualdade tenha um sinal “ -s_{3}” (porque era \ge), a variável s_{3} continua sendo exigida não-negativa. Isso é normal: o surplus aparece com sinal negativo na igualdade.

Passo 5

Reescrever o objetivo incluindo as variáveis auxiliares (coeficientes zero para elas). O objetivo original é
\max f = -2x_{1}-x_{2}+5x_{3}.
Em forma padrão, explicitamos que as variáveis extras têm custo zero:
\max f = -2x_{1}-x_{2}+5x_{3}+0\cdot s_{1}+0\cdot s_{2}+0\cdot s_{3}.
As variáveis de decisão finais (todas não-negativas) são:
x_{1},\,x_{2},\,x_{3},\,s_{1},\,s_{2},\,s_{3} \ge 0.

Resposta

\begin{aligned} \max\\ & f = -2x_{1}-x_{2}+5x_{3}+0\cdot s_{1}+0\cdot s_{2}+0\cdot s_{3}\\[4pt] \text{s.a.}\\ & x_{1}-2x_{2}+x_{3}+s_{1}=8,\\[4pt] & -3x_{1}+2x_{2}+s_{2}=18,\\[4pt] & -2x_{1}-x_{2}+2x_{3}-s_{3}=4,\\[4pt] & x_{1},\,x_{2},\,x_{3},\,s_{1},\,s_{2},\,s_{3}\ge 0. \end{aligned}]

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