Resolva geometricamente os PLs relativos às análises de atividades abaixo, sendo o bem 1 alimentos e o bem 2 vestuário. Diga quem são as restrições ativas e inativas no ponto de ótimo e encontre os preços-sombra dos fatores de produção trabalho (L), capital (K) e terra (T).
\left\{\begin{array}{cl}\max _{x_{1}, x_{2}} & Y\left(x_{1}, x_{2}\right)=x_{1}+x_{2} \\\ \text { s.a. } & x_{1}+3 x_{2} \leq 27(\mathrm{~L}) \\\ & x_{1}+x_{2} \leq 10(\mathrm{~K}) \\\ & 2 x_{1}+x_{2} \leq 16(\mathrm{~T}) \\\ & x_{1} \geq 0, x_{2} \geq 0 .\end{array}\right.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados do problema (pegos do enunciado):
  • Variáveis de decisão: x_{1} (quantidade do bem 1 — alimentos) e x_{2} (quantidade do bem 2 — vestuário).
  • Função-objetivo a maximizar:
Y(x_{1},x_{2}) = x_{1} + x_{2}.
  • Restrições (recursos) e suas dotaçãoes:
\begin{array}{ll} \text{(L) } & x_{1} + 3x_{2} \le 27,\\[4pt] \text{(K) } & x_{1} + x_{2} \le 10,\\[4pt] \text{(T) } & 2x_{1} + x_{2} \le 16,\\[4pt] & x_{1}\ge 0,\; x_{2}\ge 0. \end{array}
O enunciado pede:
  1. Resolver geometricamente o problema (achar a solução ótima).
  2. Dizer quais restrições são ativas e inativas no(s) ponto(s) de ótimo.
  3. Encontrar os preços-sombra (shadow prices) dos fatores de produção L, K e T.]

Passo 2

Ideia geométrica e estratégia (sem calcular ainda).
  • As isoquantes da função-objetivo são retas do tipo
x_{1}+x_{2}=c,
para algum c. Para maximizar, queremos a maior constante c tal que a reta x_{1}+x_{2}=c ainda corte a região factível. Movendo a reta para cima e para a direita (aumentando c) procuramos o último ponto de interseção com a região factível — é um problema padrão de programação linear em \mathbb{R}^2.
  • A região factível é o polígono convexo formado pelas interseções das meias-planos definidos pelas desigualdades e pelos eixos x_{1}=0, x_{2}=0.
  • A solução ótima ocorre num vértice (ou numa aresta inteira) do polígono. Logo, vamos achar os vértices (interseções relevantes) e calcular Y neles.

Passo 3

Determinar os vértices candidatos — calcular interseções relevantes (faço contas passo a passo).
  1. Interseções com os eixos:
  • Se [x_{2}=0), as restrições viram x_{1}\le 27,\; x_{1}\le 10,\; 2x_{1}\le 16. A mais restritiva é 2x_{1}\le16\Rightarrow x_{1}\le8. Logo há um vértice \,(8,0).
  • Se x_{1}=0, as restrições viram 3x_{2}\le27,\; x_{2}\le10,\; x_{2}\le16. A mais restritiva é 3x_{2}\le27\Rightarrow x_{2}\le9. Logo há um vértice \,(0,9).
  1. Interseção das restrições \text{(L)} e \text{(K)}:
    Resolver o sistema
\begin{cases} x_{1}+3x_{2}=27,\\\ x_{1}+x_{2}=10. \end{cases}
Subtraindo a segunda da primeira:
( x_{1}+3x_{2})-(x_{1}+x_{2})=27-10 \Longrightarrow 2x_{2}=17 \Rightarrow x_{2}=8{,}5.
Então x_{1}=10-8{,}5=1{,}5\]. Portanto vértice \[\,(1{,}5,\,8{,}5).
Verificação rápida: para \text{(T)}, 2x_{1}+x_{2}=2\cdot1{,}5+8{,}5=3+8{,}5=11{,}5\le16 — satisfaz.
  1. Interseção das restrições \text{(L)} e \text{(T)}:
    Resolver
\begin{cases} x_{1}+3x_{2}=27,\\\\ 2x_{1}+x_{2}=16. \end{cases}
Multiplicando a segunda por 3\]: \[6x_{1}+3x_{2}=48. Subtraindo a primeira: 5x_{1}=21\Rightarrow x_{1}=4{,}2. Então x_{2}=(27-4{,}2)/3=22{,}8/3=7{,}6. Isso dá o ponto (4{,}2,7{,}6). Verificação da restrição \text{(K)}: x_{1}+x_{2}=4{,}2+7{,}6=11{,}8>10, ou seja esse ponto NÃO pertence à região factível (violou \text{(K)}). Portanto descartá-lo como vértice factível.
  1. Interseção das restrições \text{(K)} e \text{(T)}:
    Resolver
\begin{cases} x_{1}+x_{2}=10,\\\\ 2x_{1}+x_{2}=16. \end{cases}
Subtraindo a primeira da segunda: x_{1}=6\]. Então \(x_{2}=4. Ponto (6,4). Verificação da \text{(L)}: x_{1}+3x_{2}=6+12=18\le27 — satisfaz.
Resumo dos vértices factíveis encontrados:
(0,0),\\ (8,0),\\ (0,9),\\ (1{,}5,8{,}5),\\ (6,4).
(Observe que (0,0) está sempre presente; não dá máximo aqui porque objetivos são positivos.)

Passo 4

Avaliar a função-objetivo Y=x_{1}+x_{2} em cada vértice factível.
  • Em (0,0): Y=0.
  • Em (8,0): Y=8.
  • Em (0,9): Y=9.
  • Em (1{,}5,8{,}5): Y=1{,}5+8{,}5=10.
  • Em (6,4): Y=6+4=10.
Conclusão parcial: o maior valor de Y encontrado é 10, alcançado em dois vértices (1{,}5,8{,}5) e (6,4). Como a função-objetivo é linear e toma o mesmo valor nos dois extremos, todo o segmento entre esses dois pontos (interseção da reta x_{1}+x_{2}=10 com a região factível) também é ótimo. Portanto existe uma infinitude de ótimos: todos os pontos (x_{1},x_{2}) que satisfazem
x_{1}+x_{2}=10
e que pertencem ao polígono factível entre (1{,}5,8{,}5) e (6,4).

Passo 5

Identificar restrições ativas e inativas no(s) ponto(s) ótimo(s).
  • Observação importante: há uma aresta ótima (segmento) — então a configuração de restrições ativas depende do ponto escolhido sobre essa aresta.
Análise ponto a ponto:
  • Para qualquer ponto interior do segmento ótimo (um ponto estritamente entre (1{,}5,8{,}5) e (6,4)) temos:
    • A restrição \text{(K)} (capital) é ativa, porque por definição do segmento ótimo x_{1}+x_{2}=10.
    • As restrições \text{(L)} e \text{(T)} são estritamente satisfeitas (inativas) ao longo do interior do segmento, isto é x_{1}+3x_{2}<27 e 2x_{1}+x_{2}<16.
  • Em um extremo do segmento:
    • No ponto (1{,}5,8{,}5): \text{(K)} e \text{(L)} são ativas (iguais), \text{(T)} é inativa.
    • No ponto (6,4): \text{(K)} e \text{(T)} são ativas, \text{(L)} é inativa.
Resumo prático:
  • A restrição \text{(K)} está ativa em todo o conjunto ótimo.
  • \text{(L)} e \text{(T)} são inativas para pontos interiores do segmento ótimo; cada uma pode estar ativa em um dos extremos (L no extremo com x_{2} grande; T no extremo com x_{1} grande).

Passo 6

Definir o dual e interpretar preços-sombra (conceito).
  • Para um problema primal do tipo maximização com restrições A x \le b,\\ x\ge0, o dual é um problema de minimização cujas variáveis duales y (cada y_{i}\ge0) podem ser interpretadas como preços-sombra dos recursos (aumentos marginais no valor ótimo por unidade adicional do recurso).
  • Aplicando isso aqui: associe variáveis duales
    • y_{1} ao recurso \text{(L)},
    • y_{2} ao recurso \text{(K)},
    • y_{3} ao recurso \text{(T)},
      todas com y_{i}\ge0.
  • O dual é:
\begin{array}{rl} \min\limits_{y_{1},y_{2},y_{3}} & 27y_{1}+10y_{2}+16y_{3}\\[4pt] \text{s.a.} & y_{1}+y_{2}+2y_{3}\ge 1 \quad\text{(coeficiente de }x_{1}),\\[4pt] & 3y_{1}+y_{2}+y_{3}\ge 1 \quad\text{(coeficiente de }x_{2}),\\[4pt] & y_{1},y_{2},y_{3}\ge 0. \end{array}
  • Se encontrarmos y^{*} ótimo, então y^{*}_{1},y^{*}_{2},y^{*}_{3} são os preços-sombra de L,K,T respectivamente: cada y^{*}_{i} indica quanto aumenta o valor máximo Y^{*} se o recurso i tiver sua dotação aumentada em uma unidade marginal.]

Passo 7

Resolver o dual usando complementaridade e a solução primal ótima conhecida.
  • Como temos pontos ótimos primais com x_{1}>0\) e \(x_{2}>0\) (por exemplo \((6,4)\) é um vértice ótimo), pela condição de complementaridade forte, as desigualdades do dual associadas às variáveis primais ativas deverão ser iguaisidades. Especificamente, se \(x_{j}>0\) então a correspondente desigualdade dual para \(x_{j}\) deve ser com igualdade. - Tomemos o vértice ótimo \((6,4)\). Nele as restrições ativas são \(\text{(K)}\) e \(\text{(T)}\), enquanto \(\text{(L)}\) é inativa. Pela complementaridade, para uma restrição primal inativa o dual correspondente deve satisfazer \(y_{1}=0\) (porque se o limite do recurso não está sendo atingido, seu preço-sombra é zero). - Logo podemos definir: \[y_{1}=0.
  • Como x_{1}=6>0 e x_{2}=4>0, as duas desigualdades do dual devem ser igualdades. Assim
\begin{cases} y_{1}+y_{2}+2y_{3}=1,\\[4pt] 3y_{1}+y_{2}+y_{3}=1. \end{cases}
Substituindo y_{1}=0\] obtemos \[\begin{cases} y_{2}+2y_{3}=1,\\[4pt] y_{2}+y_{3}=1. \end{cases}\] Subtraindo a segunda da primeira dá \(y_{3}=0. Então y_{2}=1.
  • Portanto uma solução dual viável e ótima é
(y_{1},y_{2},y_{3}) = (0,\,1,\,0).
Verificação do custo dual: 27\cdot0+10\cdot1+16\cdot0=10, que coincide com o valor ótimo primal Y^{*}=10, confirmando otimalidade (dual alcança mesmo custo).]

Passo 8

Interpretação final dos preços-sombra e significado econômico (didático e direto).
  • Preços-sombra encontrados:
\pi_{L}=y_{1}=0,\qquad \pi_{K}=y_{2}=1,\qquad \pi_{T}=y_{3}=0.
  • Interpretação: um aumento marginal da dotação de capital \text{(K)} em uma unidade aumentaria o valor máximo Y^{*} em 1 unidade. Já aumentar marginalmente trabalho \text{(L)} ou terra \text{(T)} em uma unidade não altera o valor máximo (preço-sombra zero) — isso ocorre porque, no ponto ótimo (ou no segmento ótimo), o capital é o recurso estrangulante; L e T não são escassos marginalmente.

Resposta

Ótimo: Y^{*}=10, alcançado por todos os pontos do segmento entre (1{,}5,\,8{,}5) e (6,\,4) (linha x_{1}+x_{2}=10 no polígono factível).
Restrições ativas/inativas no ótimo: a restrição \text{(K)} está ativa para todo o conjunto ótimo; \text{(L)} e \text{(T)} são inativas ao longo do interior do segmento ótimo. Em extremos: em (1{,}5,8{,}5) as restrições \text{(K)} e \text{(L)} são ativas; em (6,4) as restrições \text{(K)} e \text{(T)} são ativas.
Preços-sombra: \pi_{L}=0,\\ \pi_{K}=1,\\ \pi_{T}=0.

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