uma região circular de raio R=3,00 \mathrm{~cm}. O módulo do campo elétrico é dado por E=(0,500 \mathrm{~V} / \mathrm{m} \cdot \mathrm{s})(1-\mathrm{r} / \mathrm{R}) t, em que t está em segundos e r é a distância radial ( r \leq R ). Determine o módulo do campo magnético induzido a uma distância radial de 2,00 \mathrm{~cm}.

Passo 1

O enunciado descreve uma região circular de raio R=3{,}00\\ \text{cm} onde há um campo elétrico azimutal dado por
E(r,t)=(0{,}500\\ \text{V/m·s})\bigl(1-\tfrac{r}{R}\bigr)\,t,
para r\le R. Pede-se o módulo do campo magnético induzido a r=2{,}00\\ \text{cm}.
O conteúdo usado será a Lei de Faraday–Maxwell em forma integral:
\oint E\cdot dl \;=\;-\,\frac{d}{dt}\!\int B\cdot dA.

Passo 2

Convertendo para o SI, R=0{,}03\\ \text{m} e r=0{,}02\\ \text{m}. Avaliando E em r=0{,}02\\ \text{m}:
E(0{,}02,t) =0{,}500\;\bigl(1-\tfrac{0{,}02}{0{,}03}\bigr)\,t =0{,}500\;\bigl(1-\tfrac{2}{3}\bigr)\,t =0{,}500\;\tfrac{1}{3}\;t =\tfrac{1}{6}\,t\quad\bigl[\text{V/m}\bigr].

Passo 3

Escolhemos o caminho de integração como a circunferência de raio r. Como E é tangencial e uniforme sobre esse círculo,
\oint E\cdot dl = E(r,t)\;2\pi r.
O fluxo magnético através do disco de raio r é
\Phi_B=\int B\,dA = B(r,t)\,\pi r^2.
Logo, a Lei de Faraday dá
E(r,t)\;2\pi r = -\,\frac{d}{dt}\bigl[B(r,t)\,\pi r^2\bigr] = -\,\pi r^2\,\frac{dB}{dt}.

Passo 4

Isolando \tfrac{dB}{dt}:
E(r,t)\;2\pi r = -\,\pi r^2\,\frac{dB}{dt} \quad\Longrightarrow\quad \frac{dB}{dt} = -\,\frac{2\,E(r,t)}{r}.
Substituindo E(0{,}02,t)=\tfrac{1}{6}t e r=0{,}02\\ \text{m}:
\frac{dB}{dt} = -\,\frac{2\bigl(\tfrac{1}{6}t\bigr)}{0{,}02} = -\,\frac{\tfrac{1}{3}\,t}{0{,}02} = -\,\frac{t}{0{,}06} = -\,16{,}667\,t \quad\bigl[\text{T/s}\bigr].

Passo 5

Para obter B(r,t), integramos em t, assumindo B(r,0)=0:
B(r,t) =\int_0^t \frac{dB}{dt'}\,dt' =\int_0^t \bigl(-16{,}667\,t'\bigr)\,dt' =-16{,}667\;\frac{t^2}{2} =-8{,}333\,t^2.
O sinal indica a orientação; o módulo é
\bigl|B(0{,}02,t)\bigr| = 8{,}333\,t^2\quad[\text{T}].

Resposta

O módulo do campo magnético induzido a r=2{,}00\\ \text{cm} é
\boxed{B(2{,}00\text{ cm},t)=8{,}33\,t^2\\ \text{T}.}

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