A região
é limitada pelas curvas
e
. Qual das integrais abaixo representa corretamente
?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
O enunciado dá a região
limitada pelas curvas
e
e pede qual das integrais listadas representa corretamente
ou seja, a área da região
. As informações relevantes fornecidas pelo enunciado são:
- As fronteiras da região são as curvas
e . - A integral dupla procurada é
. - Há cinco alternativas (a) a (e) com integrais iteradas em
que devemos comparar com a integral correta para .
Passo 2
Estratégia para escrever a integral: usar fatias verticais (integrar primeiro em
, depois em
). Isso chama-se descrever
como uma região do tipo I, isto é, de forma
onde
é a função limite inferior em
e
é a função limite superior em
. Para achar
e
precisamos dos pontos de interseção das curvas
e
.
Calcular as interseções resolvendo
:
Portanto as abscissas de interseção são
e
. Logo a região tem
variando entre
e
.
Passo 3
Agora precisamos decidir, para
em
, qual curva fica acima (maior
) e qual fica abaixo (menor
). Considerar a diferença
Para
tem-se
, logo
. Isso significa que, para
, a curva
é a fronteira superior e
é a fronteira inferior da região
. Nos extremos
e
as curvas se encontram.
Passo 4
Escrevendo a integral dupla em ordem
(fatias verticais): o limite inferior em
é
e o limite superior é
; para cada
fixo em
,
vai de
até
. Assim a integral que representa
é
Passo 5
Fazer uma verificação calculando a integral (isso confirma que a expressão está correta e também dá a área):
Calcular a primitiva:
Portanto a integral correta descreve a área
, consistente com a região entre
(inferior) e
(superior) para
.
Resposta
(b)