A região D \subset \mathbb{R}^{2} é limitada pelas curvas y=x^{2} e y=x. Qual das integrais abaixo representa corretamente \iint_{D} 1 d A ?
(a) \int_{0}^{1} \int_{0}^{x} d y d x
(b) \int_{0}^{1} \int_{x^{2}}^{x} d y d x
(c) \int_{0}^{1} \int_{0}^{x^{2}} d y d x
(d) \int_{0}^{1} \int_{x}^{x^{2}} d y d x
(e) \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} d y d x

Passo 1

O enunciado dá a região D\subset\mathbb{R}^2 limitada pelas curvas y=x^{2} e y=x e pede qual das integrais listadas representa corretamente
\iint_{D} 1\,dA,
ou seja, a área da região D. As informações relevantes fornecidas pelo enunciado são:
  • As fronteiras da região são as curvas y=x^{2} e y=x.
  • A integral dupla procurada é \iint_{D} 1\,dA.
  • Há cinco alternativas (a) a (e) com integrais iteradas em \,dy\,dx que devemos comparar com a integral correta para D.

Passo 2

Estratégia para escrever a integral: usar fatias verticais (integrar primeiro em y, depois em x). Isso chama-se descrever D como uma região do tipo I, isto é, de forma
D=\{(x,y)\mid a\le x\le b,\; g_{1}(x)\le y\le g_{2}(x)\},
onde g_{1} é a função limite inferior em y e g_{2} é a função limite superior em y. Para achar a e b precisamos dos pontos de interseção das curvas y=x^{2} e y=x.
Calcular as interseções resolvendo x^{2}=x:
x^{2}-x=0 \quad\Rightarrow\quad x(x-1)=0.
Portanto as abscissas de interseção são x=0 e x=1. Logo a região tem x variando entre 0 e 1.

Passo 3

Agora precisamos decidir, para x em [0,1], qual curva fica acima (maior y) e qual fica abaixo (menor y). Considerar a diferença
x-x^{2}=x(1-x).
Para x\in(0,1) tem-se x(1-x)>0, logo x>x^{2}. Isso significa que, para 0<x<1, a curva y=x é a fronteira superior e y=x^{2} é a fronteira inferior da região D. Nos extremos x=0 e x=1 as curvas se encontram.

Passo 4

Escrevendo a integral dupla em ordem dy\,dx (fatias verticais): o limite inferior em x é 0 e o limite superior é 1; para cada x fixo em [0,1], y vai de y=x^{2} até y=x. Assim a integral que representa \iint_{D}1\,dA é
\int_{0}^{1}\int_{x^{2}}^{x} 1\,dy\,dx.

Passo 5

Fazer uma verificação calculando a integral (isso confirma que a expressão está correta e também dá a área):
\int_{0}^{1}\int_{x^{2}}^{x} 1\,dy\,dx=\int_{0}^{1}\bigl[x - x^{2}\bigr]\,dx.
Calcular a primitiva:
\int_{0}^{1} x - x^{2}\,dx=\left[\tfrac{1}{2}x^{2}-\tfrac{1}{3}x^{3}\right]_{0}^{1}=\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{3}=\tfrac{1}{6}.
Portanto a integral correta descreve a área 1/6, consistente com a região entre y=x^{2} (inferior) e y=x (superior) para 0\le x\le1.

Resposta

(b)

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