A lei seguinte representa uma estimativa sobre o número de funcionários de uma empresa, em função do tempo
, em anos, de existência da empresa:
a) Quantos funcionários a empresa possuía na sua fundação?
b) Quantos funcionários foram incorporados à empresa do
ao
ano? (Admita que nenhum funcionário tenha saído).
b) Quantos funcionários foram incorporados à empresa do
Passo 1
O enunciado dá a estimativa do número de funcionários em função do tempo
(anos) pela função
Informações relevantes e perguntas:
- A variável
representa o tempo em anos desde a fundação da empresa. - A função
retorna o número de funcionários no instante . - Admitir que nenhum funcionário saiu (portanto, aumento no número é simplesmente a diferença entre os valores de
em dois tempos). - Pergunta (a): Quantos funcionários a empresa possuía na sua fundação? (ou seja, em
). - Pergunta (b): Quantos funcionários foram incorporados à empresa do
ao ano? (ou seja, aumento entre e ).
Passo 2
Interpretação da notação e domínio: estou interpretando
como o logaritmo de base
de
. Para que a função faça sentido (logaritmo definido), é necessário que
Isso está ok para os tempos pedidos (
estão no domínio).
Passo 3
Mini-aula sobre logaritmos (do jeitinho que dá pra usar na prova).
- Definição:
significa que . Aqui é a base do logaritmo (aqui ). - Estratégia prática para avaliar
sem calculadora: tente escrever como potência de . Se isso for possível, o expoente é o valor do logaritmo. Exemplos úteis: -
, então . -
, então . -
, então .
-
- Outra forma (quando não dá para ver de cabeça) é usar mudança de base:
, mas para estes argumentos especiais não é necessário.
Passo 4
Calcular o número de funcionários na fundação (resolução da pergunta (a)).
- Na fundação temos
. Então . - Avaliar o logaritmo: como visto,
porque . - Substituir na função:
Portanto, havia
funcionários na fundação.
Passo 5
Calcular quantos funcionários foram incorporados do
ao
ano (resolução da pergunta (b)).
- Como nenhum saiu, o número incorporado é a diferença
Vamos calcular
e
separadamente.
- Para
: . Então . Assim
- Para
: . Como mostrado, . Então
- Diferença:
Portanto, foram incorporados
funcionários entre o 2.º e o 6.º ano.
Resposta
a) 425 funcionários
b) 25 funcionários
b) 25 funcionários