A lei seguinte representa uma estimativa sobre o número de funcionários de uma empresa, em função do tempo t, em anos, de existência da empresa:
f(t)=400+50 \cdot \log _{4}^{t+2}
a) Quantos funcionários a empresa possuía na sua fundação?
b) Quantos funcionários foram incorporados à empresa do 2^{\underline{\circ}} ao 6^{\underline{\circ}} ano? (Admita que nenhum funcionário tenha saído).

Passo 1

O enunciado dá a estimativa do número de funcionários em função do tempo t (anos) pela função
f(t)=400+50\cdot \log_{4}(t+2).
Informações relevantes e perguntas:
  • A variável t representa o tempo em anos desde a fundação da empresa.
  • A função f(t) retorna o número de funcionários no instante t.
  • Admitir que nenhum funcionário saiu (portanto, aumento no número é simplesmente a diferença entre os valores de f em dois tempos).
  • Pergunta (a): Quantos funcionários a empresa possuía na sua fundação? (ou seja, em t=0).
  • Pergunta (b): Quantos funcionários foram incorporados à empresa do 2^{\underline{\circ}} ao 6^{\underline{\circ}} ano? (ou seja, aumento entre t=2 e t=6).

Passo 2

Interpretação da notação e domínio: estou interpretando \log_{4}(t+2) como o logaritmo de base 4 de (t+2). Para que a função faça sentido (logaritmo definido), é necessário que
t+2>0\quad\Rightarrow\quad t>-2.
Isso está ok para os tempos pedidos ( t=0,2,6 estão no domínio).

Passo 3

Mini-aula sobre logaritmos (do jeitinho que dá pra usar na prova).
  • Definição: \log_a(b)=c significa que a^{c}=b. Aqui a é a base do logaritmo (aqui a=4).
  • Estratégia prática para avaliar \log_{4}(x) sem calculadora: tente escrever x como potência de 4. Se isso for possível, o expoente é o valor do logaritmo. Exemplos úteis:
    • 4^{1}=4, então \log_{4}(4)=1.
    • 4^{1/2}=\sqrt{4}=2, então \log_{4}(2)=\tfrac{1}{2}.
    • 4^{3/2}=4^{1}\cdot4^{1/2}=4\cdot2=8, então \log_{4}(8)=\tfrac{3}{2}.
  • Outra forma (quando não dá para ver de cabeça) é usar mudança de base: \log_{4}(x)=\dfrac{\log(x)}{\log(4)}, mas para estes argumentos especiais não é necessário.

Passo 4

Calcular o número de funcionários na fundação (resolução da pergunta (a)).
  • Na fundação temos t=0. Então t+2=0+2=2.
  • Avaliar o logaritmo: como visto, \log_{4}(2)=\tfrac{1}{2} porque 4^{1/2}=2.
  • Substituir na função:
f(0)=400+50\cdot \log_{4}(2)=400+50\cdot \tfrac{1}{2}=400+25=425.
Portanto, havia 425 funcionários na fundação.

Passo 5

Calcular quantos funcionários foram incorporados do 2^{\underline{\circ}} ao 6^{\underline{\circ}} ano (resolução da pergunta (b)).
  • Como nenhum saiu, o número incorporado é a diferença
\Delta = f(6)-f(2).
Vamos calcular f(2) e f(6) separadamente.
  • Para t=2: t+2=4. Então \log_{4}(4)=1. Assim
f(2)=400+50\cdot 1=450.
  • Para t=6: t+2=8. Como mostrado, \log_{4}(8)=\tfrac{3}{2}. Então
f(6)=400+50\cdot \tfrac{3}{2}=400+75=475.
  • Diferença:
\Delta = f(6)-f(2)=475-450=25.
Portanto, foram incorporados 25 funcionários entre o 2.º e o 6.º ano.

Resposta

a) 425 funcionários
b) 25 funcionários

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