Em uma região do espaço, uma partícula possui uma função de onda dada por
e a energia do estado é
, onde L é um comprimento característico do sistema. Responda: Obtenha o valor médio,
, da posição e,
, do momento da partícula .
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma partícula que está descrita por uma função de onda
, onde
é uma constante e
é um comprimento característico. A energia dessa partícula é dada por
. O que a gente precisa fazer aqui é calcular dois valores médios: o valor médio da posição,
, e o valor médio do momento,
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica relacionados a funções de onda e operadores de observáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o valor médio da posição,
. Na mecânica quântica, o valor esperado de uma grandeza física é dado pela integral da função de onda complexa vezes a operação correspondente vezes a função de onda novamente. No caso da posição, temos:
Como nossa função de onda
é real (ou seja,
), a expressão fica:
Passo 3
Vamos substituir
na expressão:
Então,
Passo 4
Agora, observamos que a função
é uma função ímpar, ou seja,
. Em integrais simétricas em torno de zero, isso significa que a integral de uma função ímpar será zero. Portanto:
Passo 5
Agora, vamos calcular o valor médio do momento,
. O operador do momento na representação de posição é dado por:
Então, o valor esperado do momento é:
Como
é real,
, então:
Passo 6
Vamos calcular a derivada de
:
Substituindo de volta na expressão de
:
Simplificando:
Passo 7
Novamente, a integral
é a integral de uma função ímpar, que sabemos que é zero. Portanto:
Resposta
O valor médio da posição é
e o valor médio do momento é
.