Em uma região do espaço, uma partícula possui uma função de onda dada por psi(x)= A e^-x^22 L^2 e a energia do estado é E=hbar^2 / 2 m L^2, onde L é um comprimento característico do sistema. Responda: Obtenha o valor médio, lang<= xrang<=, da posição e, lang<= prang<=, do momento da partícula .

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma partícula que está descrita por uma função de onda psi(x) = A e^-x^22 L^2, onde A é uma constante e L é um comprimento característico. A energia dessa partícula é dada por E = hbar^22 m L^2. O que a gente precisa fazer aqui é calcular dois valores médios: o valor médio da posição, lang<= x rang<=, e o valor médio do momento, lang<= p rang<=. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica relacionados a funções de onda e operadores de observáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor médio da posição, lang<= x rang<=. Na mecânica quântica, o valor esperado de uma grandeza física é dado pela integral da função de onda complexa vezes a operação correspondente vezes a função de onda novamente. No caso da posição, temos:
lang<= x rang<= = integral-infty^infty psi^*(x) , x , psi(x) , dx
Como nossa função de onda psi(x) é real (ou seja, psi^*(x) = psi(x)), a expressão fica:
lang<= x rang<= = integral-infty^infty psi(x) , x , psi(x) , dx = integral-infty^infty x |psi(x)|^2 , dx

Passo 3

Vamos substituir psi(x) na expressão:
|psi(x)|^2 = A^2 e^-x^2L^2
Então,
lang<= x rang<= = A^2 integral-infty^infty x e^-x^2L^2 , dx

Passo 4

Agora, observamos que a função x e^-x^2L^2 é uma função ímpar, ou seja, f(-x) = -f(x). Em integrais simétricas em torno de zero, isso significa que a integral de uma função ímpar será zero. Portanto:
lang<= x rang<= = 0

Passo 5

Agora, vamos calcular o valor médio do momento, lang<= p rang<=. O operador do momento na representação de posição é dado por:
p = -i hbar ddx
Então, o valor esperado do momento é:
lang<= p rang<= = integral-infty^infty psi^*(x) ( -i hbar ddx ) psi(x) , dx
Como psi(x) é real, psi^*(x) = psi(x), então:
lang<= p rang<= = -i hbar integral-infty^infty psi(x) d psi(x)dx , dx

Passo 6

Vamos calcular a derivada de psi(x):
d psi(x)dx = ddx ( A e^-x^22 L^2 ) = A ( -xL^2 ) e^-x^22 L^2 = -A xL^2 e^-x^22 L^2
Substituindo de volta na expressão de lang<= p rang<=:
lang<= p rang<= = -i hbar integral-infty^infty A e^-x^22 L^2 ( -A xL^2 e^-x^22 L^2 ) dx
Simplificando:
lang<= p rang<= = i hbar A^2L^2 integral-infty^infty x e^-x^2L^2 dx

Passo 7

Novamente, a integral integral-infty^infty x e^-x^2L^2 dx é a integral de uma função ímpar, que sabemos que é zero. Portanto:
lang<= p rang<= = 0

Resposta

O valor médio da posição é lang<= x rang<= = 0 e o valor médio do momento é lang<= p rang<= = 0.

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