Duas moléculas neutras ao longo do eixo x se atraem mutuamente. Cada molécula possui um momento de dipolo p, com seus momentos de dipolo orientados na direção +x, e separados por uma distância d. Considere d suficientemente grande frente os tamanhos típicos dos dipolos. Obtenha uma expressão para a força de atração entre os dipolos em termos de p e d. (Dica: a energia potencial de um dipolo num campo elétrico uniforme é tal que: U=-p cdot E).

Passo 1

Então, o exercício fala de duas moléculas neutras com momentos de dipolo iguais vec p, ambas apontando pra +x e distantes d (bem maior que o tamanho delas). Matéria: interação dipolo-dipolo. Vamos precisar do campo elétrico de um dipolo no eixo, da energia de um dipolo num campo ( U=-vec pcdotvec E) e depois derivar pra achar a força ( F=-dU/dd).

Passo 2

Campo de um dipolo vec p no seu eixo (distância d em +x): teoria diz que, longe do dipolo,
vec E(d)=14pivarepsilon0,2vec pd^3,
Isso vem do potencial de dipolo expandido em poderes de 1/d.

Passo 3

Energia potencial do segundo dipolo no campo do primeiro:
U=-vec pcdotvec E,
Como os dois estão alinhados em +x, fica U=-p,E. Substituindo
E=2p4pivarepsilon0,d^3Longrightarrow U=-pcdot2p4pivarepsilon0,d^3=-2p^24pivarepsilon0,d^3=-p^22pivarepsilon0,d^3,

Passo 4

Agora a força vem de
F=-dUdd,
Derivando U=-p^22pivarepsilon0d^-3:
dUdd=-p^22pivarepsilon0(-3)d^-4=3p^22pivarepsilon0,d^4,,
então
F=-dUdd=-3p^22pivarepsilon0,d^4,
O sinal “−” indica que é atração (ou seja, aponta pra −x).

Resposta

Magnitude da força de atração:
F=3p^22pivarepsilon0,d^4,,
e vetorialmente:
vec F=-3p^22pivarepsilon0,d^4,hat x,

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