Em uma região do espaço, uma partícula quântica com energia total igual a zero tem função de onda
psi(x)=A x e^-x^2L^2
Calcule a energia potencial U como uma função de x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma função de onda para uma partícula quântica com energia total igual a zero. Nosso objetivo é calcular a energia potencial em função de . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos da mecânica quântica, especificamente a equação de Schrödinger dependente do tempo independente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da equação de Schrödinger independente do tempo para uma dimensão:
E psi(x) = -hbar^22m d^2psi(x)dx^2 + U(x)psi(x)
Aqui, é a energia total, é a constante de Planck reduzida, é a massa da partícula, e é a energia potencial que queremos encontrar.

Passo 3

Dado que a energia total 0 = -hbar^22m d^2psi(x)dx^2 + U(x)psi(x) , podemos reescrever a equação assim:
U(x)psi(x) = hbar^22m d^2psi(x)dx^2
Vamos isolar U(x) = hbar^22m d^2psi(x)dx^2psi(x) :

Passo 4

Agora, precisamos calcular a segunda derivada da função de onda psi(x) = A x e^-x^2L^2 :
dpsidx = A e^-x^2L^2 + A x (-2xL^2) e^-x^2L^2 = A e^-x^2L^2 (1 - 2x^2L^2)
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada:
d^2psidx^2 = A (-2xL^2) e^-x^2L^2 (1 - 2x^2L^2) + A e^-x^2L^2 (-4xL^2)
Agora, a segunda derivada:
d^2psidx^2 = A e^-x^2L^2 (4x^2L^4 - 6L^2)
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos substituir U(x) = hbar^22m A e^-x^2L^2 (4x^2L^4 - 6L^2)A x e^-x^2L^2 = hbar^22m (4x^2L^4 - 6L^2) 1x e U(x) = hbar^22m (4xL^4 - 6x L^2) na expressão para :
Simplificando ainda mais:

Resposta

A energia potencial U(x) = hbar^22m (4xL^4 - 6x L^2) em função de é:

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