Em uma região do espaço, uma partícula quântica com energia total igual a zero tem função de onda
psi(x)=A x e^-x^2L^2
Esboce U(x) em função de x. Resposta: U(x)=hbar^22 m L^2(4 x^2L^2-6)

Passo 1

Beleza! A gente tem uma partícula quântica numa região do espaço com energia total igual a zero. A função de onda dela é dada por:
psi(x) = A x e^-x^2L^2
O que a gente precisa fazer é esboçar a função $ U(x) $ em função de $ x $. Para isso, vamos usar a equação de Schrödinger independente do tempo, que relaciona a energia da partícula, a função de onda e o potencial $ U(x) $. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a equação de Schrödinger independente do tempo para uma partícula numa dimensão:
-hbar^22m d^2 psidx^2 + U(x) psi = E psi
Aqui:
  • $ \hbar $ é a constante de Planck reduzida,
  • $ m $ é a massa da partícula,
  • $ \psi(x) $ é a função de onda,
  • $ U(x) $ é o potencial que queremos encontrar,
  • $ E $ é a energia total da partícula.
No nosso caso, a energia total $ E = 0 $. Então, a equação fica:
hbar

Passo 3

Vamos isolar o potencial $ U(x) $. Para isso, reorganizamos a equação:
U(x)
E então:
U(x) psi = hbar^22m d^2 psidx^2
Isso significa que precisamos calcular a segunda derivada da função de onda $ \psi(x) $ em relação a $ x $ e depois dividir pelo $ \psi(x) $ original.

Passo 4

Vamos calcular a primeira derivada de $ \psi(x) $:
psi(x)
Usando a regra do produto:
psi(x) = A x e^-x^2L^2

Passo 5

Agora, vamos calcular a segunda derivada de $ \psi(x) $:
psi(x)
Aplicando a regra do produto novamente:
d^2psidx^2 = A ddx [ e^-x^2L^2 (1 - 2x^2L^2 ) ]
Simplificando:
d^2psidx^2 = A [ ( -2xL^2 ) e^-x^2L^2 (1 - 2x^2L^2 ) + e^-x^2L^2 ( -4xL^2 ) ]
Juntando os termos semelhantes:
d^2psidx^2 = A e^-x^2L^2 ( -2xL^2 (1 - 2x^2L^2 ) - 4xL^2 ) = A e^-x^2L^2 ( -2xL^2 + 4x^3L^4 - 4xL^2 )

Passo 6

Agora, temos a segunda derivada de $ \psi(x) $. Vamos substituir tudo de volta na expressão para $ U(x) $:
psi(x)
Os termos $ A $ e $ e{-\frac{x{2}}{L^{2}}} $ se cancelam:
U(x)
Multiplicando e rearranjando:
U(x) = hbar^22m d^2psidx^2 psi(x) = hbar^22m A e^-x^2L^2 ( 4x^3L^4 - 6xL^2 ) A x e^-x^2L^2

Resposta

U(x) = hbar^22m L^2 (4 x^2L^2 - 6)

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