Em uma região do espaço, uma partícula quântica com energia total igual a zero tem função de onda
Esboce
em função de
. Resposta:
Passo 1
Beleza! A gente tem uma partícula quântica numa região do espaço com energia total igual a zero. A função de onda dela é dada por:
O que a gente precisa fazer é esboçar a função $ U(x) $ em função de $ x $. Para isso, vamos usar a equação de Schrödinger independente do tempo, que relaciona a energia da partícula, a função de onda e o potencial $ U(x) $. Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a equação de Schrödinger independente do tempo para uma partícula numa dimensão:
Aqui:
- $ \hbar $ é a constante de Planck reduzida,
- $ m $ é a massa da partícula,
- $ \psi(x) $ é a função de onda,
- $ U(x) $ é o potencial que queremos encontrar,
- $ E $ é a energia total da partícula.
No nosso caso, a energia total $ E = 0 $. Então, a equação fica:
Passo 3
Vamos isolar o potencial $ U(x) $. Para isso, reorganizamos a equação:
E então:
Isso significa que precisamos calcular a segunda derivada da função de onda $ \psi(x) $ em relação a $ x $ e depois dividir pelo $ \psi(x) $ original.
Passo 4
Vamos calcular a primeira derivada de $ \psi(x) $:
Usando a regra do produto:
Passo 5
Agora, vamos calcular a segunda derivada de $ \psi(x) $:
Aplicando a regra do produto novamente:
Simplificando:
Juntando os termos semelhantes:
Passo 6
Agora, temos a segunda derivada de $ \psi(x) $. Vamos substituir tudo de volta na expressão para $ U(x) $:
Os termos $ A $ e $ e{-\frac{x{2}}{L^{2}}} $ se cancelam:
Multiplicando e rearranjando: