4 - Uma região do espaço tem um campo magnético uniforme dado por \vec{B}=B_{o} \hat{k}. Uma superfície gaussiana esférica de raio R centrada na origem é atravessada por este campo. Qual o fluxo de campo magnético pela calota esférica de raio R localizada acima do plano x y ?

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do campo magnético através da calota esférica de raio R que está localizada acima do plano x y. As informações dadas são:
  • O campo magnético é uniforme e vale \vec{B}=B_{0}\,\hat{k}.
  • A superfície é uma esfera de raio R centrada na origem.
  • A calota é a parte da superfície esférica com z\ge 0 (ou seja, a metade superior da esfera até o plano x y).
    A pergunta concreta: calcular o fluxo \Phi de \vec{B} através dessa calota.

Passo 2

Conceito central: fluxo de campo através de uma superfície. Definição:
\Phi=\iint_{S}\vec{B}\cdot d\vec{A}.
Aqui \Phi é o fluxo, \vec{B} é o campo (vetor constante \vec{B}=B_{0}\,\hat{k}), S é a superfície (a calota), e d\vec{A}=\hat{n}\,dA é o elemento de área orientado, com \hat{n} a normal unitária externa e dA a área escalar do elemento. A integranda \vec{B}\cdot d\vec{A}=B_{0}(\hat{k}\cdot\hat{n})\,dA mede a componente do campo perpendicular ao elemento de área.

Passo 3

Escolha de coordenadas e expressão da normal. Para superfícies esféricas é natural usar coordenadas esféricas: o ângulo polar \theta é medido a partir do eixo +z (ou seja, \theta=0 no polo norte), e \varphi é o ângulo azimutal no plano xy. A normal externa da esfera (raio R) é radial, ou seja \hat{n}=\hat{r}. O produto escalar entre \hat{r} e \hat{k} é
\hat{r}\cdot\hat{k}=\cos\theta,
pois \theta é exatamente o ângulo entre a normal radial e o eixo z.
Além disso, o elemento de área de uma esfera de raio R em coordenadas esféricas é
dA=R^{2}\sin\theta\,d\theta\,d\varphi.
Explicando: para um anel em torno do eixo z com ângulo \theta e largura angular d\theta, a circunferência tem comprimento 2\pi R\sin\theta (multiplicado por d\varphi dá o elemento azimutal) e o fator R^{2}\sin\theta\,d\theta\,d\varphi é a área desse pequeno retângulo curvo.

Passo 4

Montando a integral do fluxo sobre a calota (a calota superior corresponde a \theta variando de 0 até \pi/2, e \varphi de 0 até 2\pi). Substituindo \vec{B}\cdot d\vec{A}=B_{0}\cos\theta\,dA obtemos:
\Phi = \iint_{S} B_{0}\cos\theta\,dA = B_{0}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi/2}\cos\theta\;\bigl(R^{2}\sin\theta\,d\theta\,d\varphi\bigr).

Passo 5

Calcule a integral passo a passo. Primeiro integramos em \varphi (não depende de \varphi), então surge um fator 2\pi:
\Phi = B_{0}R^{2}\cdot 2\pi \int_{0}^{\pi/2}\sin\theta\cos\theta\,d\theta.
Agora resolvemos a integral em \theta. Note que \sin\theta\cos\theta=\tfrac{1}{2}\sin(2\theta) ou podemos fazer a substituição u=\sin\theta, du=\cos\theta\,d\theta. Usando a segunda forma:
\int_{0}^{\pi/2}\sin\theta\cos\theta\,d\theta = \int_{u=0}^{u=1} u\,du = \left.\tfrac{1}{2}u^{2}\right|_{0}^{1} = \tfrac{1}{2}.
Portanto
\Phi = B_{0}R^{2}\cdot 2\pi \cdot \tfrac{1}{2} = \pi R^{2} B_{0}.

Passo 6

Interpretação rápida e atenciosa: o resultado \Phi=\pi R^{2}B_{0} tem um significado geométrico simples — é igual ao produto do campo B_{0} pela área do círculo projetado da calota no plano xy (essa projeção tem área \pi R^{2}). Isso é um atalho útil: para campo uniforme, o fluxo através de uma superfície é o campo vezes a área da projeção ortogonal na direção do campo. Confio que você consegue usar essa observação para economizar tempo na prova. Força aí — deu bom!

Resposta

\Phi=\pi R^{2}B_{0}

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