2 - Um ímã é envolvido por uma superfície gaussiana cúbica de lado a. Se o fluxo de campo magnético por um dos lados do cubo for 1 w b, qual o fluxo total pelos demais lados do cubo ?

Passo 1

O enunciado diz: um ímã está envolvido por uma superfície gaussiana cúbica de lado a. Foi informado que o fluxo de campo magnético por um dos lados do cubo vale 1\\ \text{Wb}. A pergunta é: qual o fluxo total pelos demais lados do cubo?
Informações fornecidas:
  • Superfície fechada: um cubo de 6 faces com lado a.
  • Fluxo magnético através de uma face (uma só face) é 1\ Wb.
  • Pedir: fluxo total através das outras 5 faces.
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Passo 2

Primeiro precisamos lembrar o que é fluxo magnético. Fluxo magnético através de uma superfície S é definido por
\Phi=\iint_{S}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{A},
onde \mathbf{B} é o campo magnético no ponto da superfície e d\mathbf{A} é o vetor área infinitesimal: sua magnitude é a área do elemento e sua direção é a normal à superfície (por convenção, para uma superfície fechada a normal é a que aponta para fora). O produto escalar \mathbf{B}\cdot d\mathbf{A} mede a componente de \mathbf{B} que atravessa a superfície naquele ponto.
Explicando devagar: se \mathbf{B} estiver totalmente apontando para fora onde o vetor d\mathbf{A} aponta, o produto escalar é positivo e contribui positivamente para o fluxo; se apontar para dentro, contribui negativamente.

Passo 3

Agora a lei fundamental que vamos usar (é uma propriedade física do campo magnético) é que o fluxo total de \mathbf{B} através de qualquer superfície fechada é zero. Em notação:
\oint_{S}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{A}=0.
Essa identidade decorre do fato de que não existem “cargas magnéticas” isoladas (ou seja, não existem monopolos magnéticos conhecidos). Uma forma matemática de expressar isso é
\oint_{S}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{A}=\int_{V}\nabla\cdot\mathbf{B}\,dV,
e como \nabla\cdot\mathbf{B}=0 em todo o volume (ausência de monopolos), a integral de volume é zero, logo a integral de superfície é zero. Intuição: linhas de campo magnético sempre fecham em si mesmas; tudo o que entra por um lado sai por outro, somando zero no total.

Passo 4

Aplicando essa lei ao nosso cubo (que é uma superfície fechada), o fluxo total através das 6 faces vale zero:
\Phi_{\text{total}}=\Phi_{1}+\Phi_{2}+\Phi_{3}+\Phi_{4}+\Phi_{5}+\Phi_{6}=0,
onde \Phi_{i} é o fluxo através da face i. Pelo enunciado sabemos que, digamos, \Phi_{1}=1\\ \text{Wb}.

Passo 5

Isolamos a soma dos fluxos das outras cinco faces:
\Phi_{2}+\Phi_{3}+\Phi_{4}+\Phi_{5}+\Phi_{6}=-\Phi_{1}.
Substituindo \Phi_{1}=1\\ \text{Wb} obtemos
\Phi_{2}+\Phi_{3}+\Phi_{4}+\Phi_{5}+\Phi_{6}=-1\\ \text{Wb}.

Passo 6

Interpretação prática e sinal: o resultado negativo significa que, somadas, as componentes do campo que atravessam as outras faces apontam mais para dentro do cubo (ou têm orientação oposta à da face cujo fluxo foi 1\\ \text{Wb}), de modo que cancelam o fluxo positivo dessa face, garantindo fluxo total zero. Não precisamos saber como esse -1\\ \text{Wb} se distribui entre as 5 faces — apenas sabemos o total delas.

Resposta

-1\\ \text{Wb}

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