2 - Um ímã é envolvido por uma superfície gaussiana cúbica de lado
. Se o fluxo de campo magnético por um dos lados do cubo for
, qual o fluxo total pelos demais lados do cubo ?
Passo 1
O enunciado diz: um ímã está envolvido por uma superfície gaussiana cúbica de lado
. Foi informado que o fluxo de campo magnético por um dos lados do cubo vale
. A pergunta é: qual o fluxo total pelos demais lados do cubo?
Informações fornecidas:
- •Superfície fechada: um cubo de 6 faces com lado a.
- •Fluxo magnético através de uma face (uma só face) é 1\ Wb.
- •Pedir: fluxo total através das outras 5 faces.
Passo 2
Primeiro precisamos lembrar o que é fluxo magnético. Fluxo magnético através de uma superfície
é definido por
onde
é o campo magnético no ponto da superfície e
é o vetor área infinitesimal: sua magnitude é a área do elemento e sua direção é a normal à superfície (por convenção, para uma superfície fechada a normal é a que aponta para fora). O produto escalar
mede a componente de
que atravessa a superfície naquele ponto.
Explicando devagar: se
estiver totalmente apontando para fora onde o vetor
aponta, o produto escalar é positivo e contribui positivamente para o fluxo; se apontar para dentro, contribui negativamente.
Passo 3
Agora a lei fundamental que vamos usar (é uma propriedade física do campo magnético) é que o fluxo total de
através de qualquer superfície fechada é zero. Em notação:
Essa identidade decorre do fato de que não existem “cargas magnéticas” isoladas (ou seja, não existem monopolos magnéticos conhecidos). Uma forma matemática de expressar isso é
e como
em todo o volume (ausência de monopolos), a integral de volume é zero, logo a integral de superfície é zero. Intuição: linhas de campo magnético sempre fecham em si mesmas; tudo o que entra por um lado sai por outro, somando zero no total.
Passo 4
Aplicando essa lei ao nosso cubo (que é uma superfície fechada), o fluxo total através das 6 faces vale zero:
onde
é o fluxo através da face
. Pelo enunciado sabemos que, digamos,
.
Passo 5
Isolamos a soma dos fluxos das outras cinco faces:
Substituindo
obtemos
Passo 6
Interpretação prática e sinal: o resultado negativo significa que, somadas, as componentes do campo que atravessam as outras faces apontam mais para dentro do cubo (ou têm orientação oposta à da face cujo fluxo foi
), de modo que cancelam o fluxo positivo dessa face, garantindo fluxo total zero. Não precisamos saber como esse
se distribui entre as 5 faces — apenas sabemos o total delas.