Numa região, fósseis de pequenos animais são freqüentemente encontrados e um arqueólogo estabeleceu o seguinte modelo de probabilidade para o comprimento, em centímetros, desses fósseis.
f(x)=\left\{\begin{array}{cr} \frac{1}{40} x, & 4 \leqslant x \leqslant 8, \\\ \frac{-1}{20} x+\frac{3}{5}, & 8 \leqslant x \leqslant 10, \\\ \frac{1}{10}, & 10 \leqslant x \leqslant 11, \\\\ 0, & \text { caso contrário. } \end{array}\right.
(a) Faça um gráfico da função densidade.
(b) Para um fóssil encontrado nessa região, determine a probabilidade do comprimento ser inferior a 6 centímetros? E de ser superior a 5 mas inferior a 10,5 \mathrm{~cm} ?
(c) Encontre o valor esperado para o comprimento dos fósseis da região.
\text { R. (b) } 0,25 \text { e } 0,84 \text {, \text{(c)} } E(X)=7,45 \text {. }
Passo 1
O enunciado define uma densidade de probabilidade contínua f(x) em três trechos disjuntos e pede (a) o gráfico dessa função, (b) duas probabilidades envolvendo integrais de f e (c) o valor esperado E(X). Para resolver precisamos lembrar que, para densidade f,
– o gráfico é dado pelo traçado de cada ramo no seu intervalo;
– \displaystyle P(a<X<b)=\int_{a}^{b}f(x)\,dx;
– \displaystyle E(X)=\int_{-\infty}^{\infty}x\,f(x)\,dx.
Passo 2
O gráfico de f(x) é composto por:
Para 4\le x\le8, a reta
f(x)=\frac{x}{40},
que em x=4 vale 4/40=0,1 e em x=8 vale 8/40=0,2.
2. Para 8\le x\le10, a reta
f(x)=-\frac{x}{20}+\frac{3}{5},
que em x=8 dá -8/20+3/5=0,2 e em x=10 dá -10/20+3/5=0,1.
3. Para 10\le x\le11, a função constante