Numa região, fósseis de pequenos animais são freqüentemente encontrados e um arqueólogo estabeleceu o seguinte modelo de probabilidade para o comprimento, em centímetros, desses fósseis.
f(x)=\left\{\begin{array}{cr} \frac{1}{40} x, & 4 \leqslant x \leqslant 8, \\\ \frac{-1}{20} x+\frac{3}{5}, & 8 \leqslant x \leqslant 10, \\\ \frac{1}{10}, & 10 \leqslant x \leqslant 11, \\\\ 0, & \text { caso contrário. } \end{array}\right.á
(a) Faça um gráfico da função densidade.
(b) Para um fóssil encontrado nessa região, determine a probabilidade do comprimento ser inferior a 6 centímetros? E de ser superior a 5 mas inferior a 10,5 \mathrm{~cm} ?
(c) Encontre o valor esperado para o comprimento dos fósseis da região.
\text { R. (b) } 0,25 \text { e } 0,84 \text {, \text{(c)} } E(X)=7,45 \text {. }

Passo 1

O enunciado define uma densidade de probabilidade contínua f(x) em três trechos disjuntos e pede (a) o gráfico dessa função, (b) duas probabilidades envolvendo integrais de f e (c) o valor esperado E(X). Para resolver precisamos lembrar que, para densidade f,
– o gráfico é dado pelo traçado de cada ramo no seu intervalo;
\displaystyle P(a<X<b)=\int_{a}^{b}f(x)\,dx;
\displaystyle E(X)=\int_{-\infty}^{\infty}x\,f(x)\,dx.

Passo 2

O gráfico de f(x) é composto por:
  1. Para 4\le x\le8, a reta
f(x)=\frac{x}{40},
que em x=4 vale 4/40=0,1 e em x=8 vale 8/40=0,2.
2. Para 8\le x\le10, a reta
f(x)=-\frac{x}{20}+\frac{3}{5},
que em x=8 -8/20+3/5=0,2 e em x=10 -10/20+3/5=0,1.
3. Para 10\le x\le11, a função constante
f(x)=\frac{1}{10}.
Fora desses intervalos, f(x)=0.

Passo 3

Para \displaystyle P(X<6) calculamos
P(X<6)=\int_{4}^{6}\frac{x}{40}\,dx =\left[\frac{x^{2}}{80}\right]_{4}^{6} =\frac{36-16}{80} =\frac{20}{80} =0,25.

Passo 4

Para \displaystyle P(5<X<10,5) dividimos em três integrais:
\int_{5}^{8}\frac{x}{40}\,dx +\int_{8}^{10}\Bigl(-\frac{x}{20}+\frac{3}{5}\Bigr)\,dx +\int_{10}^{10,5}\frac{1}{10}\,dx.
  1. \displaystyle \int_{5}^{8}\frac{x}{40}\,dx =\Bigl[\frac{x^{2}}{80}\Bigr]_{5}^{8} =\frac{64-25}{80} =\frac{39}{80} =0,4875.
  2. \displaystyle \int_{8}^{10}\Bigl(-\frac{x}{20}+\frac{3}{5}\Bigr)\,dx =\Bigl[-\frac{x^{2}}{40}+\frac{3x}{5}\Bigr]_{8}^{10} =(3,5-3,2) =0,3.
  3. \displaystyle \int_{10}^{10,5}\frac{1}{10}\,dx =\frac{10,5-10}{10} =0,05.
    Somando, 0,4875+0,3+0,05=0,8375\approx0,84.

Passo 5

Para E(X) usamos
E(X) =\int_{4}^{8}x\frac{x}{40}\,dx +\int_{8}^{10}x\Bigl(-\frac{x}{20}+\frac{3}{5}\Bigr)\,dx +\int_{10}^{11}x\frac{1}{10}\,dx.
  1. \displaystyle \int_{4}^{8}\frac{x^{2}}{40}\,dx =\Bigl[\frac{x^{3}}{120}\Bigr]_{4}^{8} =\frac{512-64}{120} =3,7333.
  2. \displaystyle \int_{8}^{10}\Bigl(-\frac{x^{2}}{20}+\frac{3x}{5}\Bigr)\,dx =\Bigl[-\frac{x^{3}}{60}+\frac{3x^{2}}{10}\Bigr]_{8}^{10} =2,6667.
  3. \displaystyle \int_{10}^{11}\frac{x}{10}\,dx =\frac{1}{10}\Bigl[\frac{x^{2}}{2}\Bigr]_{10}^{11} =1,05.
    Somando, 3,7333+2,6667+1,05=7,45.

Resposta

P(X<6)=0,25 P(5<X<10,5)=0,84 E(X)=7,45

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