Suponha que o plano
separa o meio
do meio
, com permissividades relativas
4 e
, respectivamente. O vetor intensidade de campo elétrico no meio 1 próximo ao contorno (ou seja, para
) é
. Encontre o vetor intensidade de campo elétrico
no meio 2 próximo ao contorno (ou seja, para
), para as seguintes situações:
(a) Se não houver cargas livres no contorno;
(b) Se houver cargas de superfícies com densidade
no contorno.
(a) Se não houver cargas livres no contorno;
(b) Se houver cargas de superfícies com densidade
Passo 1
O enunciado diz que a superfície
separa o meio 1 (
) do meio 2 (
). As informações dadas são:
O vetor intensidade de campo elétrico no meio 1, próximo ao contorno (isto é, em
), é
Pediram que encontremos o vetor
no meio 2, próximo ao contorno (isto é, em
), nas duas situações:
(a) sem cargas livres na superfície do contorno ( );
(b) com densidade de carga superficial .
(a) sem cargas livres na superfície do contorno (
(b) com densidade de carga superficial
Passo 1 serve só para listar o que temos e o que é pedido — a resolução começa no passo seguinte.
Passo 2
As condições de contorno relevantes (e por que elas valem) são:
- continuidade das componentes tangenciais de
: as componentes de ao longo da superfície são as mesmas em ambos os lados. Em fórmulas:
Motivo curto e intuitivo: pegue um retângulo muito fino que atravessa a superfície e use a lei integral de Faraday (ou o teorema de Stokes no caso estático), a circulação de
tende a zero se não há variação magnética de forma dinâmica — daí a tangencial de
é contínua.
- descontinuidade da componente normal de
relacionada à carga superficial livre . Usando um “píldulo” (gaussiano) que cruza a superfície obtemos:
onde
e
. Explicação: o fluxo de
pelo píldulo é a carga livre sobre a área do píldulo.
Essas duas condições são tudo o que precisamos: tangencial de
contínua e diferença das normais de
igual a
.
Passo 3
Vamos separar
em componentes tangenciais (x e y) e normal (z). Do enunciado:
A normal à superfície
é
. As permissividades absolutas são
e
, com
a permissividade do vácuo.
Passo 4
Com
a condição para as normais fica
Cancelando
,
Substituindo os valores
,
,
:
As componentes tangenciais são iguais (continuidade):
Logo, em (a)
Explicação rápida: sem carga livre a componente normal de
não muda através da interface; como
muda,
tem que ajustar-se.
Passo 5
Agora
. A condição das normais é
Escrevendo com
:
Isolando
:
Agora plugamos números. Primeiro convertemos
em coulomb por metro quadrado:
Usamos
. Então
Agora calcule o numerador:
Finalmente,
As componentes tangenciais continuam iguais:
Portanto, em (b)
Passo 6
Resumo do procedimento que você pode repetir rápido na prova:
- Separe componentes tangenciais (x,y) e normal (z).
- Use
para tangenciais. - Use
para normais; isole . - Converter
para coulomb/m² e usar se .
Você consegue — respira fundo e aplica essas 4 etapas com calma.
Resposta
(a)
\n
(b)
(b)