Suponha que o plano \mathrm{z}=0 separa o meio 1(\mathrm{z}>0) do meio 2(\mathrm{z}<0), com permissividades relativas \varepsilon_{\mathrm{r} 1}= 4 e \varepsilon_{\mathrm{r} 2}=2, respectivamente. O vetor intensidade de campo elétrico no meio 1 próximo ao contorno (ou seja, para \mathrm{z}=0^{+}) é \boldsymbol{E}_{1}=\left(4 \hat{\mathbf{a}}_{\mathrm{x}}-2 \hat{\mathbf{a}}_{\mathrm{y}}+5 \hat{\mathbf{a}}_{\mathrm{z}}\right) \mathrm{V} / \mathrm{m}. Encontre o vetor intensidade de campo elétrico \boldsymbol{E}_{2} no meio 2 próximo ao contorno (ou seja, para \mathrm{z}=0^{-}), para as seguintes situações:
(a) Se não houver cargas livres no contorno;
(b) Se houver cargas de superfícies com densidade \rho_{\mathrm{s}}=53,12 \mathrm{pC} / \mathrm{m}^{2} no contorno.

Passo 1

O enunciado diz que a superfície \mathrm{z}=0 separa o meio 1 ( \mathrm{z}>0) do meio 2 ( \mathrm{z}<0). As informações dadas são:
\varepsilon_{r1}=4,\qquad \varepsilon_{r2}=2.
O vetor intensidade de campo elétrico no meio 1, próximo ao contorno (isto é, em \mathrm{z}=0^{+}), é
\boldsymbol{E}_1=\left(4\hat{\mathbf{a}}_x-2\hat{\mathbf{a}}_y+5\hat{\mathbf{a}}_z\right)\\ \mathrm{V/m}.
Pediram que encontremos o vetor \boldsymbol{E}_2 no meio 2, próximo ao contorno (isto é, em \mathrm{z}=0^{-}), nas duas situações:
(a) sem cargas livres na superfície do contorno ( \rho_s=0);
(b) com densidade de carga superficial \rho_s=53{,}12\\ \mathrm{pC/m^2}.
Passo 1 serve só para listar o que temos e o que é pedido — a resolução começa no passo seguinte.

Passo 2

As condições de contorno relevantes (e por que elas valem) são:
  • continuidade das componentes tangenciais de \boldsymbol{E}: as componentes de \boldsymbol{E} ao longo da superfície são as mesmas em ambos os lados. Em fórmulas:
E_{1x}=E_{2x},\qquad E_{1y}=E_{2y}.
Motivo curto e intuitivo: pegue um retângulo muito fino que atravessa a superfície e use a lei integral de Faraday (ou o teorema de Stokes no caso estático), a circulação de \boldsymbol{E} tende a zero se não há variação magnética de forma dinâmica — daí a tangencial de \boldsymbol{E} é contínua.
  • descontinuidade da componente normal de \boldsymbol{D}=\varepsilon\boldsymbol{E} relacionada à carga superficial livre \rho_s. Usando um “píldulo” (gaussiano) que cruza a superfície obtemos:
D_{1z}-D_{2z}=\rho_s,
onde D_{1z}=\varepsilon_0\varepsilon_{r1}E_{1z} e D_{2z}=\varepsilon_0\varepsilon_{r2}E_{2z}. Explicação: o fluxo de \boldsymbol{D} pelo píldulo é a carga livre sobre a área do píldulo.
Essas duas condições são tudo o que precisamos: tangencial de \boldsymbol{E} contínua e diferença das normais de \boldsymbol{D} igual a \rho_s.

Passo 3

Vamos separar \boldsymbol{E}_1 em componentes tangenciais (x e y) e normal (z). Do enunciado:
E_{1x}=4\\ \mathrm{V/m},\qquad E_{1y}=-2\\ \mathrm{V/m},\qquad E_{1z}=5\\ \mathrm{V/m}.
A normal à superfície \mathrm{z}=0 é \hat{\mathbf{a}}_z. As permissividades absolutas são \varepsilon_1=\varepsilon_0\varepsilon_{r1} e \varepsilon_2=\varepsilon_0\varepsilon_{r2}, com \varepsilon_0 a permissividade do vácuo.

Passo 4

Com \rho_s=0 a condição para as normais fica
D_{1z}-D_{2z}=0 \quad\Rightarrow\quad \varepsilon_0\varepsilon_{r1}E_{1z}=\varepsilon_0\varepsilon_{r2}E_{2z}.
Cancelando \varepsilon_0,
\varepsilon_{r1}E_{1z}=\varepsilon_{r2}E_{2z}\quad\Rightarrow\quad E_{2z}=\frac{\varepsilon_{r1}}{\varepsilon_{r2}}\,E_{1z}.
Substituindo os valores \varepsilon_{r1}=4, \varepsilon_{r2}=2, E_{1z}=5\\ \mathrm{V/m}:
E_{2z}=\frac{4}{2}\cdot 5=2\cdot 5=10\\ \mathrm{V/m}.
As componentes tangenciais são iguais (continuidade):
E_{2x}=E_{1x}=4\\ \mathrm{V/m},\qquad E_{2y}=E_{1y}=-2\\ \mathrm{V/m}.
Logo, em (a)
\boldsymbol{E}_2=\left(4\hat{\mathbf{a}}_x-2\hat{\mathbf{a}}_y+10\hat{\mathbf{a}}_z\right)\\ \mathrm{V/m}.
Explicação rápida: sem carga livre a componente normal de \boldsymbol{D} não muda através da interface; como \varepsilon muda, E_z tem que ajustar-se.

Passo 5

Agora \rho_s\neq 0. A condição das normais é
D_{1z}-D_{2z}=\rho_s.
Escrevendo com \varepsilon_0:
\varepsilon_0\varepsilon_{r1}E_{1z}-\varepsilon_0\varepsilon_{r2}E_{2z}=\rho_s.
Isolando E_{2z}:
\varepsilon_{r2}E_{2z}=\varepsilon_{r1}E_{1z}-\frac{\rho_s}{\varepsilon_0},
E_{2z}=\frac{\varepsilon_{r1}E_{1z}-\dfrac{\rho_s}{\varepsilon_0}}{\varepsilon_{r2}}.
Agora plugamos números. Primeiro convertemos \rho_s em coulomb por metro quadrado:
\rho_s=53{,}12\\ \mathrm{pC/m^2}=53{,}12\times 10^{-12}\\ \mathrm{C/m^2}.
Usamos \varepsilon_0\approx 8{,}854187817\times 10^{-12}\\ \mathrm{F/m}. Então
\frac{\rho_s}{\varepsilon_0}\approx\frac{53{,}12\times 10^{-12}}{8{,}854187817\times 10^{-12}}\approx 6{,}0\\ \mathrm{V/m}.
Agora calcule o numerador:
\varepsilon_{r1}E_{1z}=4\cdot 5=20\\ \mathrm{V/m},
\varepsilon_{r1}E_{1z}-\frac{\rho_s}{\varepsilon_0}\approx 20-6=14\\ \mathrm{V/m}.
Finalmente,
E_{2z}\approx\frac{14}{\varepsilon_{r2}}=\frac{14}{2}=7\\ \mathrm{V/m}.
As componentes tangenciais continuam iguais:
E_{2x}=4\\ \mathrm{V/m},\qquad E_{2y}=-2\\ \mathrm{V/m}.
Portanto, em (b)
\boldsymbol{E}_2=\left(4\hat{\mathbf{a}}_x-2\hat{\mathbf{a}}_y+7\hat{\mathbf{a}}_z\right)\\ \mathrm{V/m}.

Passo 6

Resumo do procedimento que você pode repetir rápido na prova:
  1. Separe componentes tangenciais (x,y) e normal (z).
  2. Use E_{1t}=E_{2t} para tangenciais.
  3. Use \varepsilon_0\varepsilon_{r1}E_{1n}-\varepsilon_0\varepsilon_{r2}E_{2n}=\rho_s para normais; isole E_{2n}.
  4. Converter \rho_s para coulomb/m² e usar \varepsilon_0 se \rho_s\neq 0.
    Você consegue — respira fundo e aplica essas 4 etapas com calma.

Resposta

(a) \boldsymbol{E}_2=\left(4\hat{\mathbf{a}}_x-2\hat{\mathbf{a}}_y+10\hat{\mathbf{a}}_z\right)\\ \mathrm{V/m}\n
(b) \boldsymbol{E}_2=\left(4\hat{\mathbf{a}}_x-2\hat{\mathbf{a}}_y+7\hat{\mathbf{a}}_z\right)\\ \mathrm{V/m}

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