A região no primeiro quadrante limitada por
e
é girada ao redor do eixo
. Calcule o volume do sólido de revolução gerado dessa maneira. (Esboce a região, apresente o elemento de volume.)
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar, em torno do eixo
, a região do primeiro quadrante limitada pela curva
, pela reta
e pela reta horizontal
. O conteúdo usado aqui é o método dos casquilhos cilíndricos (shells), pois giramos em torno do eixo vertical e é fácil parametrizar em
.
Passo 2
Vamos descrever a região no plano
:
Para variando de
até
(pois
), a ordenada
vai de
(curva inferior) até
(reta superior). Nas bordas temos o segmento de curva de
a
, a reta vertical de
a
e a reta horizontal de
a
.
Para
Passo 3
Em cada fatia de espessura
a distância ao eixo
é
(raio do cilindro) e a altura do casquilho é
Assim o volume do casquilho é
Passo 4
Somando todos os casquilhos de
até
, o volume total é
Passo 5
Vamos calcular:
Primeiro termo:
Segundo termo por partes (
,
):
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Resposta
O volume do sólido de revolução é