A região no primeiro quadrante limitada por y=e^x, x=0 e y=e é girada ao redor do eixo y. Calcule o volume do sólido de revolução gerado dessa maneira. (Esboce a região, apresente o elemento de volume.)

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar, em torno do eixo y, a região do primeiro quadrante limitada pela curva y=e^x, pela reta x=0 e pela reta horizontal y=e. O conteúdo usado aqui é o método dos casquilhos cilíndricos (shells), pois giramos em torno do eixo vertical e é fácil parametrizar em x.

Passo 2

Vamos descrever a região no plano xy:
Para x variando de 0 até 1 (pois e^1=e), a ordenada y vai de y=e^x (curva inferior) até y=e (reta superior). Nas bordas temos o segmento de curva de (0,1) a (1,e), a reta vertical de (0,1) a (0,e) e a reta horizontal de (0,e) a (1,e).

Passo 3

Em cada fatia de espessura dx a distância ao eixo y é x (raio do cilindro) e a altura do casquilho é
a<ura = ytopo - ybase = e - e^x
Assim o volume do casquilho é
dV = 2pi times (raio) times (a<ura) times dx = 2pi,x,(e - e^x),dx

Passo 4

Somando todos os casquilhos de x=0 até x=1, o volume total é
V = integral0^1 2pi,x,(e - e^x),dx

Passo 5

Vamos calcular:
V = 2pil(eintegral0^1x,dx ;-;integral0^1x,e^x,dxr)
Primeiro termo:
integral0^1x,dx = 12
Segundo termo por partes ( u=x, dv=e^xdx):
integral0^1x,e^x,dx = l[x,e^xr]0^1 - integral0^1e^x,dx = l(e - er) - (e-1) = 1
Logo
V = 2pil(ecdot12 - 1r) = 2pil(e2 - 1r) = pi,(e - 2)

Resposta

O volume do sólido de revolução é
V = pi,(e - 2)

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