Expresse o comprimento do arco de
no intervalo
.
Passo 1
O enunciado pede o comprimento do arco da curva
no intervalo
.
O conteúdo necessário é a fórmula do comprimento de arco para :
O conteúdo necessário é a fórmula do comprimento de arco para
Passo 2
Calcular a derivada de
. Como
temos
Passo 3
Substituir na fórmula do comprimento de arco:
Mas
, logo
Isso simplifica a integral para
Passo 4
Integrar
. A primitiva conhecida é
Portanto,
Passo 5
Avaliar nos limites:
Emx = pi/3 :
csc(pi/3)=tfrac2raiz3 ,
cot(pi/3)=tfrac1raiz3
csc+cot = tfrac3raiz3 = raiz3 , logo o termo vale
-ln(raiz3) .
Em
Em
x = pi/4 :
csc(pi/4)=raiz2 ,
cot(pi/4)=1
csc+cot = raiz2 + 1 , logo o termo vale
-ln(raiz2+1) .
Subtraindo,
Passo 6
Reunindo num único logaritmo: