Expresse o comprimento do arco de f(x)=ln (sen(x)) no intervalo pi4 <= x <= pi3.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento do arco da curva
y = f(x) = lnl(sen(x)r)
no intervalo pi4 <= x <= pi3.
O conteúdo necessário é a fórmula do comprimento de arco para y=f(x):
L = integrala^b raiz1 + l(f'(x)r)^2,dx

Passo 2

Calcular a derivada de f(x). Como
f(x) = lnl(sen(x)r),
temos
f'(x) = ddxlnl(sen(x)r) = cos(x)sen(x) = cot(x)

Passo 3

Substituir na fórmula do comprimento de arco:
L = integralpi/4^pi/3 raiz1 + cot^2(x),dx
Mas 1 + cot^2(x) = csc^2(x), logo
raiz1 + cot^2(x) = csc(x)
Isso simplifica a integral para
L = integralpi/4^pi/3 csc(x),dx

Passo 4

Integrar csc(x). A primitiva conhecida é
integral csc(x),dx = -lnl|csc(x) + cot(x)r| + C
Portanto,
L = l[-lnl(csc(x) + cot(x)r)r]pi/4^pi/3

Passo 5

Avaliar nos limites:
Em x = pi/3:
csc(pi/3)=tfrac2raiz3, cot(pi/3)=tfrac1raiz3
csc+cot = tfrac3raiz3 = raiz3, logo o termo vale -ln(raiz3).
Em x = pi/4:
csc(pi/4)=raiz2, cot(pi/4)=1
csc+cot = raiz2 + 1, logo o termo vale -ln(raiz2+1).
Subtraindo,
L = l(-ln(raiz3)r) - l(-ln(raiz2+1)r) = ln(raiz2+1) - ln(raiz3)

Passo 6

Reunindo num único logaritmo:
L = ln!gl(raiz2 + 1raiz3gr)

Resposta

L = ln!gl(raiz2 + 1raiz3gr)

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