Regra da Cadeia: determine as derivadas das seguintes funções em relação ao seu argumento:
12.
f(x)=\frac{\ln \left(x^{4}+2 x^{2}\right)}{4 x^{3}+4 x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{\ln\bigl(x^{4}+2x^{2}\bigr)}{4x^{3}+4x}.
Para isso vamos usar a regra do quociente
\bigl(\tfrac{g}{h}\bigr)'=\frac{g'\,h - g\,h'}{h^{2}}
e, no numerador, a regra da cadeia para g(x)=\ln(u(x)).

Passo 2

Defina
u(x)=x^{4}+2x^{2}, \quad g(x)=\ln\bigl(u(x)\bigr).
Então
u'(x)=4x^{3}+4x \quad\text{e}\quad g'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)} =\frac{4x^{3}+4x}{x^{4}+2x^{2}}.

Passo 3

Defina o denominador
h(x)=4x^{3}+4x.
Logo
h'(x)=12x^{2}+4.

Passo 4

Aplicando a regra do quociente,
f'(x) =\frac{g'(x)\,h(x)\;-\;g(x)\,h'(x)}{\bigl(h(x)\bigr)^{2}} =\frac{\displaystyle \frac{4x^{3}+4x}{x^{4}+2x^{2}}\,(4x^{3}+4x) \;-\;\ln\bigl(x^{4}+2x^{2}\bigr)\,(12x^{2}+4) }{(4x^{3}+4x)^{2}}.

Passo 5

Colocando tudo sobre o mesmo denominador:
f'(x) =\frac{\dfrac{(4x^{3}+4x)^{2}}{x^{4}+2x^{2}} -\,(12x^{2}+4)\,\ln\bigl(x^{4}+2x^{2}\bigr) }{(4x^{3}+4x)^{2}} =\frac{(4x^{3}+4x)^{2}- (12x^{2}+4)(x^{4}+2x^{2})\,\ln\bigl(x^{4}+2x^{2}\bigr)}{(4x^{3}+4x)^{2}\,(x^{4}+2x^{2})}.

Resposta

f'(x) =\frac{(4x^{3}+4x)^{2}- (12x^{2}+4)(x^{4}+2x^{2})\,\ln\bigl(x^{4}+2x^{2}\bigr)}{(4x^{3}+4x)^{2}\,(x^{4}+2x^{2})}.

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