Regra da Cadeia: determine as derivadas das seguintes funções em relação ao seu argumento:
11.
f(x)=\ln \left(x^{4}+2 x^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=\ln\bigl(x^{4}+2x^{2}\bigr)
aplicando a regra da cadeia, que é usada quando temos uma função composta do tipo f(x)=\ln(u(x)). Precisamos lembrar que
\frac{d}{dx}\ln\bigl(u(x)\bigr)=\frac{u'(x)}{u(x)}.

Passo 2

Identificamos a função interna
u(x)=x^{4}+2x^{2}.

Passo 3

Calculamos a derivada de u(x):
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{4}+2x^{2}\bigr) =4x^{3}+4x.

Passo 4

Aplicamos a regra da cadeia para obter f'(x):
f'(x) =\frac{u'(x)}{u(x)} =\frac{4x^{3}+4x}{x^{4}+2x^{2}}.

Passo 5

Fatoramos numerador e denominador para simplificar:
4x^{3}+4x=4x\bigl(x^{2}+1\bigr), \quad x^{4}+2x^{2}=x^{2}\bigl(x^{2}+2\bigr),
então
f'(x) =\frac{4x\,(x^{2}+1)}{x^{2}\,(x^{2}+2)} =\frac{4\,(x^{2}+1)}{x\,(x^{2}+2)}.

Resposta

f'(x)=\frac{4\,(x^{2}+1)}{x\,(x^{2}+2)}.

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