Regra da Cadeia: determine as derivadas das seguintes funções em relação ao seu argumento:
13.
f(x)=\exp \left[(1+a) \ln \left(\sqrt{x^{3}+x}\right)\right]

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\exp\bigl[(1+a)\ln\bigl(\sqrt{x^{3}+x}\bigr)\bigr].
O conteúdo envolve propriedades de logaritmo e exponencial, além da regra da cadeia e da regra da potência.

Passo 2

Usamos a identidade
\ln\bigl(\sqrt{u}\bigr)=\tfrac12\ln(u),
com u=x^{3}+x. Então
(1+a)\ln\bigl(\sqrt{x^{3}+x}\bigr) =\frac{1+a}{2}\,\ln\bigl(x^{3}+x\bigr).
Logo
f(x) =\exp\!\Bigl[\frac{1+a}{2}\ln(x^{3}+x)\Bigr] =(x^{3}+x)^{\frac{1+a}{2}}.

Passo 3

Para derivar
f(x)=(x^{3}+x)^{\frac{1+a}{2}},
aplicamos a regra da potência composta h(x)=g(x)^k com
k=\frac{1+a}{2}, \quad g(x)=x^{3}+x,
de modo que
f'(x) =\frac{1+a}{2}\,(x^{3}+x)^{\frac{1+a}{2}-1}\cdot g'(x).
Como
g'(x)=3x^{2}+1,
temos
f'(x) =\frac{1+a}{2}\,(x^{3}+x)^{\frac{1+a}{2}-1}\,(3x^{2}+1).

Passo 4

Basta simplificar o expoente:
\frac{1+a}{2}-1=\frac{a-1}{2}.
Logo
f'(x) =\frac{1+a}{2}\,(x^{3}+x)^{\frac{a-1}{2}}\,(3x^{2}+1).

Resposta

f'(x) =\frac{1+a}{2}\,(3x^{2}+1)\,(x^{3}+x)^{\frac{a-1}{2}}.

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