Regra da Cadeia: determine as derivadas das seguintes funções em relação ao seu argumento:
14.
f(x)=\ln \left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\ln\Bigl(\frac1x+\frac1{x^2}\Bigr)
em que vamos usar a regra da cadeia combinada com a derivada do logaritmo. Lembrando que, se f(x)=\ln(u(x)), então
f'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}.

Passo 2

Definimos
u(x)=\frac1x+\frac1{x^2}=x^{-1}+x^{-2}.
Para achar u'(x) usamos a regra de potência:
u'(x)=-1\cdot x^{-2}-2\cdot x^{-3}=-x^{-2}-2x^{-3}.

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia,
f'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)} =\frac{-x^{-2}-2x^{-3}}{x^{-1}+x^{-2}}.
Colocando tudo sobre potências de x, note que
x^{-1}+x^{-2}=\frac{x+1}{x^2}, \quad -x^{-2}-2x^{-3}=-\frac{x+2}{x^3}.
Logo
f'(x) =\frac{-\frac{x+2}{x^3}}{\frac{x+1}{x^2}} =-\frac{x+2}{x^3}\cdot\frac{x^2}{x+1} =-\frac{x+2}{x(x+1)}.

Resposta

f'(x)=-\frac{x+2}{x(x+1)}.

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