Regra da Cadeia: determine as derivadas das seguintes funções em relação ao seu argumento:
16.
f(x)=\cos \left(\operatorname{sen}\left(x^{2}\right)\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\cos\bigl(\operatorname{sen}(x^{2})\bigr)
em relação a x. O conteúdo principal aqui é a regra da cadeia, pois temos uma função composta em três níveis: x\mapsto x^{2}, depois \operatorname{sen} e finalmente \cos.

Passo 2

Vamos decompor a composição em três funções:
v(x)=x^{2},\quad u(v)=\operatorname{sen}(v),\quad f(u)=\cos(u).
Ou seja, se chamarmos v=x^{2}, então u=\operatorname{sen}(v) e por fim f=\cos(u).

Passo 3

Agora calculamos as derivadas de cada nível:
v'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)=2x,
u'(v)=\frac{d}{dv}\bigl(\operatorname{sen}(v)\bigr)=\cos(v),
\frac{d}{du}\bigl(\cos(u)\bigr)=-\operatorname{sen}(u).

Passo 4

Pela regra da cadeia, a derivada total é o produto dessas derivadas:
f'(x) =\frac{d}{du}\bigl(\cos(u)\bigr)\Bigm|_{u=\operatorname{sen}(x^{2})}\; \cdot\;\frac{d}{dv}\bigl(\operatorname{sen}(v)\bigr)\Bigm|_{v=x^{2}}\; \cdot\;v'(x).

Passo 5

Substituindo u=\operatorname{sen}(x^{2}), v=x^{2} e as derivadas:
f'(x) =-\operatorname{sen}\bigl(\operatorname{sen}(x^{2})\bigr)\,\cos\bigl(x^{2}\bigr)\,(2x).

Resposta

f'(x)=-2x\,\operatorname{sen}\bigl(\operatorname{sen}(x^{2})\bigr)\,\cos\bigl(x^{2}\bigr).

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