Regra da Cadeia: determine as derivadas das seguintes funções em relação ao seu argumento: 16. f(x)=\cos \left(\operatorname{sen}\left(x^{2}\right)\right) Passo 1O enunciado pede a derivada de f(x)=\cos\bigl(\operatorname{sen}(x^{2})\bigr) em relação a x. O conteúdo principal aqui é a regra da cadeia, pois temos uma função composta em três níveis: x\mapsto x^{2}, depois \operatorname{sen} e finalmente \cos. Passo 2Vamos decompor a composição em três funções: v(x)=x^{2},\quad u(v)=\operatorname{sen}(v),\quad f(u)=\cos(u). Ou seja, se chamarmos v=x^{2}, então u=\operatorname{sen}(v) e por fim f=\cos(u). Passo 3Agora calculamos as derivadas de cada nível: v'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)=2x, u'(v)=\frac{d}{dv}\bigl(\operatorname{sen}(v)\bigr)=\cos(v), \frac{d}{du}\bigl(\cos(u)\bigr)=-\operatorname{sen}(u). Passo 4Pela regra da cadeia, a derivada total é o produto dessas derivadas: f'(x) =\frac{d}{du}\bigl(\cos(u)\bigr)\Bigm|_{u=\operatorname{sen}(x^{2})}\; \cdot\;\frac{d}{dv}\bigl(\operatorname{sen}(v)\bigr)\Bigm|_{v=x^{2}}\; \cdot\;v'(x). Passo 5Substituindo u=\operatorname{sen}(x^{2}), v=x^{2} e as derivadas: f'(x) =-\operatorname{sen}\bigl(\operatorname{sen}(x^{2})\bigr)\,\cos\bigl(x^{2}\bigr)\,(2x). Resposta f'(x)=-2x\,\operatorname{sen}\bigl(\operatorname{sen}(x^{2})\bigr)\,\cos\bigl(x^{2}\bigr). MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosRegra da Cadeia: determine as derivadas das seguintes funções em relação ao seu argumento: 16. f(x)=\cos \left(\operatorname{sen}\left(x^{2}\right)\right) Regra da Cadeia: determine as derivadas das seguintes funções em relação ao seu argumento: 16. f(x)=\cos \left(\operatorname{sen}\left(x^{2}\right)\right) Regra da Cadeia: determine as derivadas das seguintes funções em relação ao seu argumento: 17. f(x)=\operatorname{sen}\left(e^{-x} \cdot x^{2}\right) Regra da Cadeia: determine as derivadas das seguintes funções em relação ao seu argumento: 17. f(x)=\operatorname{sen}\left(e^{-x} \cdot x^{2}\right)