Regra da Cadeia: determine as derivadas das seguintes funções em relação ao seu argumento:
17.
f(x)=\operatorname{sen}\left(e^{-x} \cdot x^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\operatorname{sen}\bigl(e^{-x}\,x^{2}\bigr).
Vamos usar a regra da cadeia combinada com a regra do produto e a derivada da função exponencial.

Passo 2

Defina a função interna
u(x)=e^{-x}\,x^{2}
e a externa
g(u)=\operatorname{sen}(u).
Pela regra da cadeia,
f'(x)=g'(u(x))\cdot u'(x) =\cos\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).

Passo 3

Para calcular u'(x), note que
u(x)=e^{-x}\,x^{2}
é um produto de v(x)=e^{-x} e w(x)=x^{2}. Então
v'(x)=-e^{-x}, \quad w'(x)=2x,
e pela regra do produto
u'(x)=v'(x)\,w(x)+v(x)\,w'(x) =(-e^{-x})\,x^{2}+e^{-x}\cdot2x =e^{-x}\bigl(2x - x^{2}\bigr).

Passo 4

Substituindo u'(x) em f'(x), obtemos
f'(x) =\cos\bigl(e^{-x}x^{2}\bigr)\;\times\;e^{-x}\bigl(2x - x^{2}\bigr).

Resposta

f'(x)=e^{-x}\bigl(2x - x^{2}\bigr)\,\cos\bigl(e^{-x}x^{2}\bigr).

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