Regra da Cadeia: determine as derivadas das seguintes funções em relação ao seu argumento:
21.
f(x)=\operatorname{sec} \left(\frac{\sqrt{x^{2}+x}}{x^{2}}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\operatorname{sec}\bigl(u(x)\bigr)
onde
u(x)=\frac{\sqrt{x^{2}+x}}{x^{2}}.
O conteúdo que vamos usar é a regra da cadeia (para \operatorname{sec}), a derivada de \operatorname{sec}, o produto (ou quociente) e a derivada de \sqrt{\cdot}.

Passo 2

Aplicando a regra da cadeia à função f(x)=\operatorname{sec}(u(x)), obtemos
f'(x)=\operatorname{sec}\bigl(u(x)\bigr)\,\tan\bigl(u(x)\bigr)\,u'(x).

Passo 3

Agora calculamos u'(x). Escrevemos
u(x)=(x^{2}+x)^{\tfrac12}\cdot x^{-2}.
Pelo produto,
u'(x)=\bigl(x^{2}+x\bigr)^{\tfrac12}\cdot(-2)x^{-3} +\;x^{-2}\cdot\frac12\bigl(x^{2}+x\bigr)^{-\tfrac12}(2x+1).

Passo 4

Simplificando cada termo:
(-2)x^{-3}(x^{2}+x)^{\tfrac12} =-\frac{2\sqrt{x^{2}+x}}{x^{3}},
x^{-2}\cdot\frac{2x+1}{2\sqrt{x^{2}+x}} =\frac{2x+1}{2\,x^{2}\sqrt{x^{2}+x}}.
Somando e reduzindo a fração comum 2\,x^{3}\sqrt{x^{2}+x}, resulta
u'(x) =\frac{(2x+1)x-4(x^{2}+x)}{2\,x^{3}\sqrt{x^{2}+x}} =-\frac{2x+3}{2\,x^{2}\sqrt{x^{2}+x}}.

Passo 5

Substituindo u'(x) em f'(x),
f'(x) =\operatorname{sec}\!\Bigl(\tfrac{\sqrt{x^{2}+x}}{x^{2}}\Bigr) \;\tan\!\Bigl(\tfrac{\sqrt{x^{2}+x}}{x^{2}}\Bigr) \;\Bigl(-\frac{2x+3}{2\,x^{2}\sqrt{x^{2}+x}}\Bigr).

Resposta

f'(x) =-\frac{2x+3}{2\,x^{2}\sqrt{x^{2}+x}} \;\operatorname{sec}\!\Bigl(\frac{\sqrt{x^{2}+x}}{x^{2}}\Bigr) \;\tan\!\Bigl(\frac{\sqrt{x^{2}+x}}{x^{2}}\Bigr).

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