Regra da Cadeia: determine as derivadas das seguintes funções em relação ao seu argumento:
20.
f(z)=\exp \left(\operatorname{sen}\left(z^{2}\right)\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(z)=\exp\bigl(\operatorname{sen}\bigl(z^{2}\bigr)\bigr)
em relação a z.
Aqui vamos usar a regra da cadeia em três níveis: u=z^{2}, v=\operatorname{sen}(u) e f=\exp(v).

Passo 2

Começamos derivando de fora para dentro:
  1. Se f(v)=\exp(v), então
\frac{df}{dv}=\exp(v).
  1. Se v(u)=\operatorname{sen}(u), então
\frac{dv}{du}=\cos(u).
  1. Se u(z)=z^{2}, então
\frac{du}{dz}=2z.

Passo 3

Pela regra da cadeia,
\frac{df}{dz} =\frac{df}{dv}\,\frac{dv}{du}\,\frac{du}{dz} =\exp\bigl(v\bigr)\,\cos\bigl(u\bigr)\,2z.
Voltando às variáveis originais u=z^{2} e v=\operatorname{sen}(z^{2}), fica
\frac{df}{dz} =\exp\bigl(\operatorname{sen}(z^{2})\bigr)\,\cos(z^{2})\,2z.

Resposta

f'(z)=2z\,\exp\bigl(\operatorname{sen}(z^{2})\bigr)\,\cos(z^{2}).

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