Regra da Cadeia: determine as derivadas das seguintes funções em relação ao seu argumento:
4.
f(x)=\frac{2 \sqrt{x^{2}+3}}{x+1}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{2\sqrt{x^{2}+3}}{x+1}
em relação a x. Vamos usar a regra do quociente e, dentro dela, a regra da cadeia para derivar a raiz.

Passo 2

Definimos as funções
u(x)=2\sqrt{x^{2}+3}, \quad v(x)=x+1,
de modo que
f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}.

Passo 3

Calculamos u'(x) aplicando a regra da cadeia a u(x)=2\,(x^{2}+3)^{1/2}:
u'(x) =2\cdot\frac{1}{2}(x^{2}+3)^{-1/2}\cdot 2x =\frac{2x}{\sqrt{x^{2}+3}}.

Passo 4

A derivada de v(x)=x+1 é imediata:
v'(x)=1.

Passo 5

Pela regra do quociente,
f'(x) =\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}} =\frac{\displaystyle\frac{2x}{\sqrt{x^{2}+3}}\,(x+1)\;-\;2\sqrt{x^{2}+3}}{(x+1)^{2}}.

Passo 6

Colocando tudo sobre o mesmo denominador \sqrt{x^{2}+3} no numerador:
\frac{2x(x+1)-2(x^{2}+3)}{\sqrt{x^{2}+3}} =\frac{2x^{2}+2x-2x^{2}-6}{\sqrt{x^{2}+3}} =\frac{2x-6}{\sqrt{x^{2}+3}} =\frac{2(x-3)}{\sqrt{x^{2}+3}}.
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f'(x) =\frac{2(x-3)}{(x+1)^{2}\,\sqrt{x^{2}+3}}.

Resposta

f'(x)=\frac{2(x-3)}{(x+1)^{2}\,\sqrt{x^{2}+3}}.

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