Regra da Cadeia: determine as derivadas das seguintes funções em relação ao seu argumento:
5.
f(x)=5^{\sqrt{x^{2}+1}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=5^{\sqrt{x^{2}+1}}.
O conteúdo é a regra da cadeia aplicada a uma função exponencial composta com uma raiz quadrada. Precisamos usar a fórmula para derivar a^{u(x)} e, dentro dela, derivar u(x)=\sqrt{x^2+1}.

Passo 2

Derivamos
u(x)=\sqrt{x^2+1}=(x^2+1)^{\tfrac12}.
Pela regra da cadeia e pela derivada de potência,
u'(x)=\tfrac12(x^2+1)^{-\tfrac12}\cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}.

Passo 3

Para
f(x)=5^{u(x)},
a derivada é
f'(x)=5^{u(x)}\ln(5)\,u'(x).
Substituindo u(x) e u'(x), obtemos
f'(x)=5^{\sqrt{x^2+1}}\ln(5)\,\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}.

Resposta

f'(x)=5^{\sqrt{x^2+1}}\ln(5)\,\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}

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