Regra da Cadeia: determine as derivadas das seguintes funções em relação ao seu argumento:
6.
f(x)=\frac{e^{\sqrt{x^{2}+1}}}{x-1}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=\frac{e^{\sqrt{x^{2}+1}}}{x-1}.
Aqui vamos usar a regra do quociente para \frac{u(x)}{v(x)} e, para u(x)=e^{g(x)}, a regra da cadeia de derivação de exponenciais compostas.

Passo 2

Identificamos
u(x)=e^{\sqrt{x^{2}+1}} \quad\text{e}\quad v(x)=x-1.
Primeiro derivamos u(x). Seja
g(x)=\sqrt{x^{2}+1}=(x^{2}+1)^{\tfrac12}.
Então
g'(x) =\frac12(x^{2}+1)^{-\tfrac12}\cdot 2x =\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}
e, pela regra da cadeia,
u'(x) =e^{\sqrt{x^{2}+1}}\cdot g'(x) =e^{\sqrt{x^{2}+1}}\;\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}.

Passo 3

Agora derivamos v(x):
v'(x)=\frac{d}{dx}(x-1)=1.

Passo 4

Aplicando a regra do quociente
f'(x) =\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}} =\frac{\displaystyle e^{\sqrt{x^{2}+1}}\;\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}\;(x-1)\;-\;e^{\sqrt{x^{2}+1}}\cdot1}{(x-1)^{2}}.

Passo 5

Fatorando e^{\sqrt{x^{2}+1}} no numerador e escrevendo tudo sobre um denominador comum, obtemos
f'(x) =e^{\sqrt{x^{2}+1}}\, \frac{\displaystyle \frac{x(x-1)}{\sqrt{x^{2}+1}}-1}{(x-1)^{2}} =e^{\sqrt{x^{2}+1}}\, \frac{\displaystyle x(x-1)-\sqrt{x^{2}+1}}{(x-1)^{2}\,\sqrt{x^{2}+1}}.

Resposta

f'(x) =e^{\sqrt{x^{2}+1}}\, \frac{x^{2}-x-\sqrt{x^{2}+1}}{(x-1)^{2}\,\sqrt{x^{2}+1}}.

Exercícios relacionados