Regra da Cadeia: determine as derivadas das seguintes funções em relação ao seu argumento:
7.
f(a)=\frac{e^{-a^{2}}}{\left(1+a^{2}\right)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(a)=\frac{e^{-a^{2}}}{\bigl(1+a^{2}\bigr)^{2}}.
O conteúdo principal aqui é a aplicação da regra do produto e da regra da cadeia em composição de funções exponencial e potência. Vamos reescrever f como produto para usar o produto de derivadas.

Passo 2

Reescrevemos
f(a)=e^{-a^{2}}\,(1+a^{2})^{-2}.
Aplicando a regra do produto,
f'(a)=\bigl(e^{-a^{2}}\bigr)'\,(1+a^{2})^{-2} +\;e^{-a^{2}}\;\bigl((1+a^{2})^{-2}\bigr)'.

Passo 3

Calculamos \bigl(e^{-a^{2}}\bigr)' usando a cadeia. Seja u(a)=-a^{2}. Então u'(a)=-2a e
\bigl(e^{u(a)}\bigr)'=u'(a)\,e^{u(a)} \;\Longrightarrow\; \bigl(e^{-a^{2}}\bigr)'=-2a\,e^{-a^{2}}.

Passo 4

Agora derivamos (1+a^{2})^{-2} por cadeia. Seja v(a)=1+a^{2} e h(v)=v^{-2}. Temos v'(a)=2a e h'(v)=-2v^{-3}, logo
\bigl((1+a^{2})^{-2}\bigr)' =-2\,(1+a^{2})^{-3}\,\cdot 2a =-4a\,(1+a^{2})^{-3}.

Passo 5

Substituindo em f'(a):
f'(a) =-2a\,e^{-a^{2}}\,(1+a^{2})^{-2} \;+\;e^{-a^{2}}\bigl(-4a\,(1+a^{2})^{-3}\bigr).
Fatorando e^{-a^{2}}\,(1+a^{2})^{-3}:
f'(a) =e^{-a^{2}}\,(1+a^{2})^{-3}\Bigl[-2a(1+a^{2})-4a\Bigr] =-2a\,(a^{2}+3)\,\frac{e^{-a^{2}}}{(1+a^{2})^{3}}.

Resposta

f'(a)=-2a\,\frac{(a^{2}+3)\,e^{-a^{2}}}{(1+a^{2})^{3}}.

Exercícios relacionados