Regra da Cadeia: determine as derivadas das seguintes funções em relação ao seu argumento:
8.
f(x)=\left(x^{2}+1\right) \exp \left(\frac{x^{3}+x^{2}}{x^{2}+1}\right)

Passo 1

O enunciado nos dá
f(x) = \bigl(x^{2}+1\bigr)\exp\!\Bigl(\frac{x^{3}+x^{2}}{x^{2}+1}\Bigr)
e pede a derivada f'(x). Vamos usar a regra do produto, a regra da cadeia e, dentro dela, a regra do quociente.

Passo 2

Definimos
u(x)=x^{2}+1, \quad v(x)=\exp\bigl(w(x)\bigr), \quad w(x)=\frac{x^{3}+x^{2}}{x^{2}+1}.
Pela regra do produto:
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).

Passo 3

Calculamos u'(x) e v'(x):
u'(x)=2x, \qquad v'(x)=\exp\bigl(w(x)\bigr)\,w'(x),
pois a derivada de \exp(w) é \exp(w)\cdot w'.

Passo 4

Para w'(x) usamos a regra do quociente em
w(x)=\frac{x^{3}+x^{2}}{x^{2}+1}.
Temos
w'(x) =\frac{(3x^{2}+2x)(x^{2}+1)-(x^{3}+x^{2})\cdot(2x)}{(x^{2}+1)^{2}} =\frac{x^{4}+3x^{2}+2x}{(x^{2}+1)^{2}}.

Passo 5

Logo
v'(x) =\exp\bigl(w(x)\bigr)\,\frac{x^{4}+3x^{2}+2x}{(x^{2}+1)^{2}}.

Passo 6

Substituindo em f'(x):
f'(x) =2x\exp\bigl(w(x)\bigr) +(x^{2}+1)\exp\bigl(w(x)\bigr)\,\frac{x^{4}+3x^{2}+2x}{(x^{2}+1)^{2}}.
Fatorando \exp(w(x)) e simplificando:
f'(x) =\exp\!\Bigl(\frac{x^{3}+x^{2}}{x^{2}+1}\Bigr) \Bigl[2x + \frac{x^{4}+3x^{2}+2x}{x^{2}+1}\Bigr].

Passo 7

Colocando tudo em uma única fração:
f'(x) =\frac{x^{4}+2x^{3}+3x^{2}+4x}{x^{2}+1} \exp\!\Bigl(\frac{x^{3}+x^{2}}{x^{2}+1}\Bigr).

Resposta

f'(x)=\frac{x^{4}+2x^{3}+3x^{2}+4x}{x^{2}+1}\,\exp\!\Bigl(\frac{x^{3}+x^{2}}{x^{2}+1}\Bigr).

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