(Regras de derivação) Utilize as regras de derivação para encontrar a derivada
de cada função:
Passo 1
O que o enunciado pede e quais são os dados.
- Pede-se a derivada
da função dada. - A função fornecida é
Passo 2
Regras que vamos usar (explicação didática).
- Regra da linearidade: a derivada de uma soma é a soma das derivadas e constantes saem da derivada. Em símbolos:
onde
e
são constantes. Isso nos permite derivar termo a termo.
- Regra da potência (power rule): para qualquer expoente real
,
Aqui
é a variável e
é o expoente; por exemplo se
então
.
Vou aplicar essas duas ideias: escrever cada termo como uma potência e derivar termo a termo usando a regra da potência.
Vou aplicar essas duas ideias: escrever cada termo como uma potência
Passo 3
Reescrever os termos e simplificar termos semelhantes.
- Converter frações em potências negativas:
- Substituindo na função:
- Agrupar termos com o mesmo expoente (somar coeficientes):
- Termos em
: - Termos em
:
- Termos em
- Função simplificada:
Passo 4
Derivar termo a termo usando a regra da potência e mostrando as contas.
- Derivada de
:
- Derivada de
:
(Explicando: multiplica-se o coeficiente
pelo expoente
e diminui o expoente em 1:
.)
- Derivada de
:
- Derivada de
:
Passo 5
Somar todas as derivadas parciais para obter
.
Se preferir escrever usando frações:
Também é possível colocar em única fração com denominador
: