(Regras de derivação) Utilize as regras de derivação para encontrar a derivada f^{\prime}(x)=\frac{d y}{d x} de cada função:
y=\frac{1}{x}-\frac{5}{x^{2}}-\frac{1}{x^{3}}-x^{-2}+10 x^{-3}+3 x^{-4}

Passo 1

O que o enunciado pede e quais são os dados.
  • Pede-se a derivada \displaystyle f'(x)=\frac{dy}{dx} da função dada.
  • A função fornecida é
y=\frac{1}{x}-\frac{5}{x^{2}}-\frac{1}{x^{3}}-x^{-2}+10 x^{-3}+3 x^{-4}.

Passo 2

Regras que vamos usar (explicação didática).
  • Regra da linearidade: a derivada de uma soma é a soma das derivadas e constantes saem da derivada. Em símbolos:
\frac{d}{dx}\big( a\cdot u(x) + b\cdot v(x)\big)=a\frac{du}{dx}+b\frac{dv}{dx},
onde a e b são constantes. Isso nos permite derivar termo a termo.
  • Regra da potência (power rule): para qualquer expoente real n,
\frac{d}{dx}\big(x^{n}\big)=n\,x^{n-1}.
Aqui x é a variável e n é o expoente; por exemplo se n=-2 então \frac{d}{dx}x^{-2}=-2x^{-3}.
Vou aplicar essas duas ideias: escrever cada termo como uma potência x^{n} e derivar termo a termo usando a regra da potência.

Passo 3

Reescrever os termos e simplificar termos semelhantes.
  • Converter frações em potências negativas:
\frac{1}{x}=x^{-1},\qquad \frac{5}{x^{2}}=5x^{-2},\qquad \frac{1}{x^{3}}=x^{-3}.
  • Substituindo na função:
y=x^{-1}-5x^{-2}-x^{-3}-x^{-2}+10x^{-3}+3x^{-4}.
  • Agrupar termos com o mesmo expoente (somar coeficientes):
    • Termos em x^{-2}: -5x^{-2}-x^{-2}=(-5-1)x^{-2}=-6x^{-2}.
    • Termos em x^{-3}: -x^{-3}+10x^{-3}=(-1+10)x^{-3}=9x^{-3}.
  • Função simplificada:
y=x^{-1}-6x^{-2}+9x^{-3}+3x^{-4}.

Passo 4

Derivar termo a termo usando a regra da potência e mostrando as contas.
  • Derivada de x^{-1}:
\frac{d}{dx}\big(x^{-1}\big)=-1\cdot x^{-2}=-x^{-2}.
  • Derivada de -6x^{-2}:
\frac{d}{dx}\big(-6x^{-2}\big)=-6\cdot(-2)\,x^{-3}=12x^{-3}.
(Explicando: multiplica-se o coeficiente -6 pelo expoente -2 e diminui o expoente em 1: -2-1=-3.)
  • Derivada de 9x^{-3}:
\frac{d}{dx}\big(9x^{-3}\big)=9\cdot(-3)\,x^{-4}=-27x^{-4}.
  • Derivada de 3x^{-4}:
\frac{d}{dx}\big(3x^{-4}\big)=3\cdot(-4)\,x^{-5}=-12x^{-5}.

Passo 5

Somar todas as derivadas parciais para obter f'(x).
f'(x)=-x^{-2}+12x^{-3}-27x^{-4}-12x^{-5}.
Se preferir escrever usando frações:
f'(x)=-\frac{1}{x^{2}}+\frac{12}{x^{3}}-\frac{27}{x^{4}}-\frac{12}{x^{5}}.
Também é possível colocar em única fração com denominador x^{5}:
f'(x)=\frac{-x^{3}+12x^{2}-27x-12}{x^{5}}.

Resposta

f'(x)=-\frac{1}{x^{2}}+\frac{12}{x^{3}}-\frac{27}{x^{4}}-\frac{12}{x^{5}}

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