(Regras de derivação) Utilize as regras de derivação para encontrar a derivada f^{\prime}(x)=\frac{d y}{d x} de cada função:
f(x)=\frac{x^{3}}{\sqrt[5]{x}}+\sqrt[6]{x^{7}} \frac{14}{5} x^{9 / 5}+\frac{7}{6} x^{1 / 6}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada f'(x)=\dfrac{dy}{dx} de cada função fornecida. Vou interpretar o enunciado como contendo três funções separadas (o texto estava condensado), portanto vou derivar cada uma destas funções:
  • f_1(x)=\dfrac{x^{3}}{\sqrt[5]{x}}.
  • f_2(x)=\sqrt[6]{x^{7}}.
  • f_3(x)=\dfrac{14}{5}x^{9/5}+\dfrac{7}{6}x^{1/6}.
Essas são as informações dadas e o que preciso entregar: as derivadas f_1'(x), f_2'(x) e f_3'(x).

Passo 2

Transformar raízes em potências fracionárias — isso simplifica muito a derivação. Regras usadas:
  • A raiz n-ésima corresponde a potência 1/n: \sqrt[n]{x}=x^{1/n}.
  • Potência de potência: \left(x^{a}\right)^{b}=x^{ab}.
Aplicando:
\sqrt[5]{x}=x^{1/5},\qquad \sqrt[6]{x^{7}}=(x^{7})^{1/6}=x^{7/6}.

Passo 3

Apresentar as regras de derivação que vamos usar (explicadas de forma simples):
  • Regra da potência (principal aqui): para qualquer real n,
\frac{d}{dx}\left(x^{n}\right)=n\,x^{n-1}.
Isto vem da definição e é a fórmula que permite derivar potências de x.
  • Regra do múltiplo constante: se c é constante,
\frac{d}{dx}\left(c\cdot g(x)\right)=c\cdot g'(x).
  • Regra da soma: a derivada da soma é a soma das derivadas:
\frac{d}{dx}\big(g(x)+h(x)\big)=g'(x)+h'(x).

Passo 4

Aplicar as transformações de Passo 2 às funções para escrevê‑las em potências:
f_1(x)=\dfrac{x^{3}}{x^{1/5}}=x^{3-1/5}=x^{14/5},
f_2(x)=\sqrt[6]{x^{7}}=x^{7/6},
f_3(x) já está em potências: f_3(x)=\dfrac{14}{5}x^{9/5}+\dfrac{7}{6}x^{1/6}.

Passo 5

Derivar f_1(x)=x^{14/5} usando a regra da potência:
f_1'(x)=\frac{d}{dx}\big(x^{14/5}\big)=\frac{14}{5}\,x^{14/5-1}.
Calcular o expoente:
14/5-1=\frac{14-5}{5}=\frac{9}{5}.
Portanto
f_1'(x)=\frac{14}{5}\,x^{9/5}.

Passo 6

Derivar f_2(x)=x^{7/6} usando a regra da potência:
f_2'(x)=\frac{d}{dx}\big(x^{7/6}\big)=\frac{7}{6}\,x^{7/6-1}.
Calcular o expoente:
7/6-1=\frac{7-6}{6}=\frac{1}{6}.
Portanto
f_2'(x)=\frac{7}{6}\,x^{1/6}.

Passo 7

Derivar f_3(x)=\dfrac{14}{5}x^{9/5}+\dfrac{7}{6}x^{1/6} aplicando regra da soma e regra do múltiplo constante; derivar cada termo com a regra da potência:
Para o primeiro termo:
\frac{d}{dx}\left(\frac{14}{5}x^{9/5}\right)=\frac{14}{5}\cdot\frac{9}{5}\,x^{9/5-1}.
Calcular coeficiente e expoente:
\frac{14\cdot9}{5\cdot5}=\frac{126}{25},\qquad 9/5-1=\frac{9-5}{5}=\frac{4}{5}.
Logo o primeiro termo derivado é \dfrac{126}{25}x^{4/5}.
Para o segundo termo:
\frac{d}{dx}\left(\frac{7}{6}x^{1/6}\right)=\frac{7}{6}\cdot\frac{1}{6}\,x^{1/6-1}.
Calcular coeficiente e expoente:
\frac{7\cdot1}{6\cdot6}=\frac{7}{36},\qquad 1/6-1=\frac{1-6}{6}=-\frac{5}{6}.
Logo o segundo termo derivado é \dfrac{7}{36}x^{-5/6}.
Somando os dois resultados:
f_3'(x)=\frac{126}{25}x^{4/5}+\frac{7}{36}x^{-5/6}.

Resposta

\displaystyle f_1'(x)=\frac{14}{5}x^{9/5}
\displaystyle f_2'(x)=\frac{7}{6}x^{1/6}
\displaystyle f_3'(x)=\frac{126}{25}x^{4/5}+\frac{7}{36}x^{-5/6}

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