(Regras de derivação) Utilize as regras de derivação para encontrar a derivada
de cada função:
Passo 1
O enunciado dá a função e pede a sua derivada:
- Função dada:
. - Pedido: encontrar
.
Informações relevantes do enunciado:
- Existem duas parcelas: a primeira é uma fração
e a segunda é . - O denominador comum envolve
, o que indica que é ponto onde a função (e a derivada) não estão definidas.
Passo 2
Escolha do método para cada parcela (sem resolver ainda):
- Para a primeira parcela
é natural usar a regra do quociente. A regra do quociente diz que, para duas funções e com ,
onde
e
. Aqui
e
.
- Para a segunda parcela
é mais simples reescrever como e aplicar a regra da potência combinada com a regra da cadeia. A regra da potência diz que, para ,
onde
é a derivada de
. Aqui
e
.
Passo 3
Derivada da primeira parcela usando a regra do quociente.
- Seja
. Então . - Seja
. Então .
Aplicando a regra do quociente:
Agora desenvolvendo o numerador:
Portanto
Passo 4
Derivada da segunda parcela usando regra da potência e da cadeia.
- Reescrevendo a parcela:
. - Aplicando a regra da potência com
e (cuja derivada ):
Lembre que o sinal negativo veio do expoente
.
Como a função original tem essa parcela subtraída, temos de prestar atenção ao sinal: na função original a parcela é
. Já calculamos a derivada de
. Portanto a derivada da parcela
é o negativo disso:
Passo 5
Somando as derivadas das duas parcelas para obter
.
- Derivada da primeira parcela:
. - Derivada da segunda parcela:
.
Assim
Passo 6
Simplificação algébrica do resultado para uma forma mais compacta.
Coloca-se em denominador comum :
Coloca-se em denominador comum
Somando com
:
Fatorando
do numerador:
Observação final: a derivada não está definida em
porque aparece
no denominador.