(Regras de derivação) Utilize as regras de derivação para encontrar a derivada f^{\prime}(x)=\frac{d y}{d x} de cada função:
f(x)=\frac{1-x}{1+x}-\frac{2}{(1+x)^{2}}\

Passo 1

O enunciado dá a função e pede a sua derivada:
  • Função dada: f(x)=\dfrac{1-x}{1+x}-\dfrac{2}{(1+x)^{2}}.
  • Pedido: encontrar f'(x)=\dfrac{dy}{dx}.
Informações relevantes do enunciado:
  • Existem duas parcelas: a primeira é uma fração \dfrac{1-x}{1+x} e a segunda é \dfrac{2}{(1+x)^{2}}.
  • O denominador comum envolve 1+x, o que indica que x=-1 é ponto onde a função (e a derivada) não estão definidas.

Passo 2

Escolha do método para cada parcela (sem resolver ainda):
  • Para a primeira parcela \dfrac{1-x}{1+x} é natural usar a regra do quociente. A regra do quociente diz que, para duas funções u(x) e v(x) com v(x)\neq0,
\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}},
onde u'=\dfrac{du}{dx} e v'=\dfrac{dv}{dx}. Aqui u(x)=1-x e v(x)=1+x.
  • Para a segunda parcela \dfrac{2}{(1+x)^{2}} é mais simples reescrever como 2(1+x)^{-2} e aplicar a regra da potência combinada com a regra da cadeia. A regra da potência diz que, para g(x)^{n},
\frac{d}{dx}\big(g(x)^{n}\big)=n\,g(x)^{n-1}\cdot g'(x),
onde g'(x) é a derivada de g(x). Aqui g(x)=1+x e n=-2.

Passo 3

Derivada da primeira parcela usando a regra do quociente.
  • Seja u(x)=1-x. Então u'(x)=-1.
  • Seja v(x)=1+x. Então v'(x)=1.
    Aplicando a regra do quociente:
\left(\frac{1-x}{1+x}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}=\frac{(-1)(1+x)-(1-x)(1)}{(1+x)^{2}}.
Agora desenvolvendo o numerador:
(-1)(1+x)-(1-x)=(-1-x)-1+x=-2.
Portanto
\left(\frac{1-x}{1+x}\right)'=\frac{-2}{(1+x)^{2}}.

Passo 4

Derivada da segunda parcela usando regra da potência e da cadeia.
  • Reescrevendo a parcela: \dfrac{2}{(1+x)^{2}}=2(1+x)^{-2}.
  • Aplicando a regra da potência com n=-2 e g(x)=1+x (cuja derivada g'(x)=1):
\frac{d}{dx}\big(2(1+x)^{-2}\big)=2\cdot(-2)(1+x)^{-3}\cdot 1 = -4(1+x)^{-3}.
Lembre que o sinal negativo veio do expoente -2.
Como a função original tem essa parcela subtraída, temos de prestar atenção ao sinal: na função original a parcela é -\dfrac{2}{(1+x)^{2}}. Já calculamos a derivada de +\dfrac{2}{(1+x)^{2}}. Portanto a derivada da parcela -\dfrac{2}{(1+x)^{2}} é o negativo disso:
\left(-\frac{2}{(1+x)^{2}}\right)' = -\big(-4(1+x)^{-3}\big)=+4(1+x)^{-3}.

Passo 5

Somando as derivadas das duas parcelas para obter f'(x).
  • Derivada da primeira parcela: -\dfrac{2}{(1+x)^{2}}.
  • Derivada da segunda parcela: +\dfrac{4}{(1+x)^{3}}.
Assim
f'(x)=-\frac{2}{(1+x)^{2}}+\frac{4}{(1+x)^{3}}.

Passo 6

Simplificação algébrica do resultado para uma forma mais compacta.
Coloca-se em denominador comum (1+x)^{3}:
-\frac{2}{(1+x)^{2}}=-\frac{2(1+x)}{(1+x)^{3}}=\frac{-2-2x}{(1+x)^{3}}.
Somando com \dfrac{4}{(1+x)^{3}}:
f'(x)=\frac{-2-2x+4}{(1+x)^{3}}=\frac{2-2x}{(1+x)^{3}}.
Fatorando 2 do numerador:
f'(x)=\frac{2(1-x)}{(1+x)^{3}}.
Observação final: a derivada não está definida em x=-1 porque aparece (1+x) no denominador.

Resposta

\displaystyle f'(x)=\frac{2(1-x)}{(1+x)^{3}}

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