(Regras de derivação) Utilize as regras de derivação para encontrar a derivada
de cada função:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para encontrar a derivada
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- O numerador é
. - O denominador é
. - O resultado deve ser uma expressão que represente a derivada para valores de
em que o denominador não é zero (isto é, ).
Passo 2
Regra que vamos usar: regra do quociente.
Se com
, então
Se
Explicando:
é a função que está em cima (numerador) e
é a função que está em baixo (denominador). Para obter
calcula-se a derivada de
multiplicada por
, subtrai-se
multiplicada pela derivada de
, e divide-se pelo quadrado de
.
Passo 3
Identificar
e
e calcular as derivadas:
Derivando termo a termo (regra da soma e regra da potência
):
Passo 4
Aplicando a regra do quociente com os
,
,
e
encontrados:
Aqui apenas substituí
na fórmula da regra do quociente.
Passo 5
Agora expandir e simplificar o numerador passo a passo.
Primeiro expandir
:
Em seguida expandir
:
Subtrair os dois resultados para obter o numerador:
Agora combinar termos semelhantes:
Logo o numerador simplificado é
Passo 6
Substituindo o numerador simplificado na fração, obtemos a derivada final:
válida para
tais que
(ou seja,
).