(Regras de derivação) Utilize as regras de derivação para encontrar a derivada f^{\prime}(x)=\frac{d y}{d x} de cada função:
f(x)=\frac{x^{2}+x+1}{x^{3}+1} \quad \frac{-x^{4}-2 x^{3}-3 x^{2}+2 x+1}{\left(x^{3}+1\right)^{2}}\

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{x^{2}+x+1}{x^{3}+1}
e pede para encontrar a derivada \,f'(x)=\dfrac{dy}{dx}.
Informações relevantes fornecidas:
  • O numerador é \,x^{2}+x+1.
  • O denominador é \,x^{3}+1.
  • O resultado deve ser uma expressão que represente a derivada para valores de x em que o denominador não é zero (isto é, x^{3}+1\neq0).

Passo 2

Regra que vamos usar: regra do quociente.
Se \,f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)} com v(x)\neq0, então
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}}.
Explicando: u(x) é a função que está em cima (numerador) e v(x) é a função que está em baixo (denominador). Para obter f'(x) calcula-se a derivada de u multiplicada por v, subtrai-se u multiplicada pela derivada de v, e divide-se pelo quadrado de v.

Passo 3

Identificar u e v e calcular as derivadas:
u(x)=x^{2}+x+1,\qquad v(x)=x^{3}+1.
Derivando termo a termo (regra da soma e regra da potência \frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}):
u'(x)=\frac{d}{dx}(x^{2})+\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(1)=2x+1+0=2x+1,
v'(x)=\frac{d}{dx}(x^{3})+\frac{d}{dx}(1)=3x^{2}+0=3x^{2}.

Passo 4

Aplicando a regra do quociente com os u, v, u' e v' encontrados:
f'(x)=\frac{(2x+1)(x^{3}+1)-(x^{2}+x+1)(3x^{2})}{(x^{3}+1)^{2}}.
Aqui apenas substituí u',u,v' na fórmula da regra do quociente.

Passo 5

Agora expandir e simplificar o numerador passo a passo.
Primeiro expandir (2x+1)(x^{3}+1):
(2x+1)(x^{3}+1)=2x\cdot x^{3}+2x\cdot 1+1\cdot x^{3}+1\cdot1=2x^{4}+x^{3}+2x+1.
Em seguida expandir (x^{2}+x+1)(3x^{2}):
(x^{2}+x+1)(3x^{2})=3x^{2}\cdot x^{2}+3x^{2}\cdot x+3x^{2}\cdot1=3x^{4}+3x^{3}+3x^{2}.
Subtrair os dois resultados para obter o numerador:
(2x^{4}+x^{3}+2x+1)-(3x^{4}+3x^{3}+3x^{2}).
Agora combinar termos semelhantes:
2x^{4}-3x^{4}=-x^{4},
x^{3}-3x^{3}=-2x^{3},
0-3x^{2}=-3x^{2},
2x-0=2x,
1-0=1.
Logo o numerador simplificado é
-x^{4}-2x^{3}-3x^{2}+2x+1.

Passo 6

Substituindo o numerador simplificado na fração, obtemos a derivada final:
f'(x)=\frac{-x^{4}-2x^{3}-3x^{2}+2x+1}{\left(x^{3}+1\right)^{2}},
válida para x tais que \,x^{3}+1\neq0 (ou seja, x\neq-1).

Resposta

\displaystyle f'(x)=\frac{-x^{4}-2x^{3}-3x^{2}+2x+1}{\left(x^{3}+1\right)^{2}}

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