Que relação existe entre a mobilidade de íon e seu tamanho? Esta relação é válida para todos os íons dissolvidos em água? Por que?
Passo 1
O enunciado pergunta duas coisas claras:
- Qual a relação entre a mobilidade de um íon e o seu tamanho?
- Essa relação vale para todos os íons dissolvidos em água? Por quê?
Informações relevantes que temos que usar (implícitas no enunciado):
- Estamos falando de íons em solução aquosa, em condições usualmente consideradas (diluição baixa, campo elétrico fraco, temperatura ambiente típica).
- “Tamanho” pode significar o raio «nu» do íon ou o raio hidrodinâmico efetivo quando o íon está hidratado; isso é importante e vou explicar a diferença.
Passo 2
O que é mobilidade iônica?
- Mobilidade elétrica
(às vezes chamada mobilidade iônica) é a razão entre a velocidade de arraste do íon e a intensidade do campo elétrico que o causa. Em fórmula:
onde
é a velocidade de regime (drift velocity) e
é o campo elétrico. Unidades típicas:
.
Expliquei isso porque, na prova, quando pedirem “mobilidade”, você pode já escrever essa definição e partir daí.
Expliquei isso porque, na prova, quando pedirem “mobilidade”, você pode já escrever essa definição e partir daí.
Passo 3
Derivação simples (modelo de esfera rígida no fluido): equilíbrio de forças.
- Força elétrica sobre um íon com carga
em campo :
onde
é a valência (por ex.
) e
a carga elementar.
- Força de arrasto viscosa (regime de baixas velocidades, escoamento laminar, partícula esférica) dada pela lei de Stokes:
onde
é a viscosidade do solvente (água) e
é o raio da esfera (aqui: raio efetivo do íon no fluido).
No regime estacionário, as forças se equilibram:
No regime estacionário, as forças se equilibram:
Dividindo ambos os lados por
e isolando
, obtemos
Interpretação clara: para esse modelo, a mobilidade é proporcional à carga
e inversamente proporcional ao raio
. Ou seja, quanto maior o raio (maior resistência viscosa), menor a mobilidade.
Passo 4
Melhorando o modelo: raio hidrodinâmico e relação com difusão.
- Na prática, um íon em água não anda “nu”: ele atrai moléculas de água e forma uma casca de solvatação. Então o parâmetro relevante para a resistência viscosa é o raio hidrodinâmico
, não o raio cristalográfico do íon. Substituindo por obtém-se a forma prática da relação de Stokes. - Outra forma útil (muito usada em eletroquímica) conecta mobilidade e coeficiente de difusão
pela relação de Nernst–Einstein:
onde
é a constante de Boltzmann e
a temperatura absoluta.
- E o coeficiente de difusão para uma esfera no fluido vem da relação de Stokes–Einstein:
Combinar estas duas equações recupera a expressão anterior:
Resumo: mobilidade ligada inversamente ao raio hidrodinâmico
(e diretamente à carga).
Passo 5
Por que a relação não é simplesmente “maior raio → menor mobilidade” em todos os casos reais? limitações e exceções importantes
- Hidratacão: íons pequenos e altamente carregados (p.ex.
, ) ligam fortemente moléculas de água, gerando um relativamente grande. Assim, um íon aparentemente pequeno pode ter baixa mobilidade porque a sua camada de solvatação é grande. Portanto, comparar mobilidades exige usar , não o raio iônico nu. - Mecanismos de transporte especiais: próton (
) e hidroxila ( ) têm mobilidades muito maiores do que a expressão de Stokes prediz, porque se deslocam por mecanismo de salto (Grotthuss), envolvendo troca rápida de ligações de hidrogênio entre moléculas de água. Esse transporte não é bem descrito por arraste de uma esfera hidratada. - Quebra das hipóteses do modelo contínuo: para íons do tamanho de algumas moléculas de água, o modelo hidrodinâmico contínuo (Stokes) começa a falhar; efeitos moleculares, geometria não esférica e estruturas específicas de solvatação passam a ser importantes.
- Concentração e pares iônicos: em soluções concentradas há caminhamentos por emparelhamento iônico, interações ion-íon e alteração da viscosidade local, tudo isso muda mobilidades. O modelo linear assume diluição infinita.
- Dependência com temperatura e viscosidade:
depende de e de (via ou via ). Em água quente mobilidades aumentam (viscosidade menor).
Passo 6
Exemplos práticos para fixar a intuição (úteis para a prova)
- Entre
e : apesar de ter raio cristalográfico maior, costuma ter mobilidade maior porque é menos fortemente hidratado (menor ) do que . Então o tamanho “nu” engana; o que importa é a solvatação. -
tem mobilidade muito alta por mecanismo de salto, portanto é uma exceção clara à lei de Stokes. - Íons multivalentes (
) usualmente têm mobilidades baixas por hidratação intensa e maior .
Passo 7
Como responder rápido numa prova (receita prática)
- Comece definindo
. - Se o enunciado permitir o modelo hidrodinâmico, escreva rapidamente a balança de forças e apresente
- Declare as hipóteses: íon esférico, solução diluída, escoamento laminar, transporte por arraste viscoso.
- Acrescente que, na prática, usar
(raio hidratado) é essencial e cite as exceções importantes: próton/hidroxila (Grotthuss), fortes interações íon-íon ou concentrações altas, e limites moleculares onde Stokes falha.
Passo 8
Força moral: não se apavore — decorar a forma
e saber mencionar hidratação e exceções (especialmente o caso do próton) resolve a maior parte das questões sobre esse tema numa prova. Vai dar certo!
Resposta
A mobilidade é, em boa aproximação, inversamente proporcional ao raio hidrodinâmico do íon:
, ou seja, quanto maior o raio hidrodinâmico
(mais resistência viscosa), menor
.
Não; essa relação não vale universalmente para todos os íons em água — ela só é válida sob as hipóteses do modelo hidrodinâmico (íon esférico, solução diluída, transporte por arraste viscoso). Existem exceções importantes (por exemplo e
pelo mecanismo de Grotthuss, íons muito fortemente hidratados, concentrações altas e regimes onde o modelo contínuo falha).
Não; essa relação não vale universalmente para todos os íons em água — ela só é válida sob as hipóteses do modelo hidrodinâmico (íon esférico, solução diluída, transporte por arraste viscoso). Existem exceções importantes (por exemplo