Que relação existe entre a mobilidade de íon e seu tamanho? Esta relação é válida para todos os íons dissolvidos em água? Por que?

Passo 1

O enunciado pergunta duas coisas claras:
  • Qual a relação entre a mobilidade de um íon e o seu tamanho?
  • Essa relação vale para todos os íons dissolvidos em água? Por quê?
Informações relevantes que temos que usar (implícitas no enunciado):
  • Estamos falando de íons em solução aquosa, em condições usualmente consideradas (diluição baixa, campo elétrico fraco, temperatura ambiente típica).
  • “Tamanho” pode significar o raio «nu» do íon ou o raio hidrodinâmico efetivo quando o íon está hidratado; isso é importante e vou explicar a diferença.

Passo 2

O que é mobilidade iônica?
  • Mobilidade elétrica \mu (às vezes chamada mobilidade iônica) é a razão entre a velocidade de arraste do íon e a intensidade do campo elétrico que o causa. Em fórmula:
\mu=\frac{v}{E},
onde v é a velocidade de regime (drift velocity) e E é o campo elétrico. Unidades típicas: \mathrm{m^2/(V\cdot s)}.
Expliquei isso porque, na prova, quando pedirem “mobilidade”, você pode já escrever essa definição e partir daí.

Passo 3

Derivação simples (modelo de esfera rígida no fluido): equilíbrio de forças.
  • Força elétrica sobre um íon com carga z e em campo E:
F_{\text{el}}=z e E,
onde z é a valência (por ex. +1,-1,+2) e e a carga elementar.
  • Força de arrasto viscosa (regime de baixas velocidades, escoamento laminar, partícula esférica) dada pela lei de Stokes:
F_{\text{drag}}=6\pi\eta r v,
onde \eta é a viscosidade do solvente (água) e r é o raio da esfera (aqui: raio efetivo do íon no fluido).
No regime estacionário, as forças se equilibram:
z e E = 6\pi\eta r v.
Dividindo ambos os lados por E e isolando \mu=v/E, obtemos
\mu=\frac{v}{E}=\frac{z e}{6\pi\eta r}.
Interpretação clara: para esse modelo, a mobilidade é proporcional à carga z e inversamente proporcional ao raio r. Ou seja, quanto maior o raio (maior resistência viscosa), menor a mobilidade.

Passo 4

Melhorando o modelo: raio hidrodinâmico e relação com difusão.
  • Na prática, um íon em água não anda “nu”: ele atrai moléculas de água e forma uma casca de solvatação. Então o parâmetro relevante para a resistência viscosa é o raio hidrodinâmico r_h, não o raio cristalográfico do íon. Substituindo r por r_h obtém-se a forma prática da relação de Stokes.
  • Outra forma útil (muito usada em eletroquímica) conecta mobilidade e coeficiente de difusão D pela relação de Nernst–Einstein:
\mu=\frac{z e D}{k_B T},
onde k_B é a constante de Boltzmann e T a temperatura absoluta.
  • E o coeficiente de difusão para uma esfera no fluido vem da relação de Stokes–Einstein:
D=\frac{k_B T}{6\pi\eta r_h}.
Combinar estas duas equações recupera a expressão anterior:
\mu=\frac{z e}{6\pi\eta r_h}.
Resumo: mobilidade ligada inversamente ao raio hidrodinâmico r_h (e diretamente à carga).

Passo 5

Por que a relação não é simplesmente “maior raio → menor mobilidade” em todos os casos reais? limitações e exceções importantes
  • Hidratacão: íons pequenos e altamente carregados (p.ex. \mathrm{Li^+}, \mathrm{Mg^{2+}}) ligam fortemente moléculas de água, gerando um r_h relativamente grande. Assim, um íon aparentemente pequeno pode ter baixa mobilidade porque a sua camada de solvatação é grande. Portanto, comparar mobilidades exige usar r_h, não o raio iônico nu.
  • Mecanismos de transporte especiais: próton ( \mathrm{H^+}) e hidroxila ( \mathrm{OH^-}) têm mobilidades muito maiores do que a expressão de Stokes prediz, porque se deslocam por mecanismo de salto (Grotthuss), envolvendo troca rápida de ligações de hidrogênio entre moléculas de água. Esse transporte não é bem descrito por arraste de uma esfera hidratada.
  • Quebra das hipóteses do modelo contínuo: para íons do tamanho de algumas moléculas de água, o modelo hidrodinâmico contínuo (Stokes) começa a falhar; efeitos moleculares, geometria não esférica e estruturas específicas de solvatação passam a ser importantes.
  • Concentração e pares iônicos: em soluções concentradas há caminhamentos por emparelhamento iônico, interações ion-íon e alteração da viscosidade local, tudo isso muda mobilidades. O modelo linear assume diluição infinita.
  • Dependência com temperatura e viscosidade: \mu depende de \eta(T) e de T (via D ou via \eta). Em água quente mobilidades aumentam (viscosidade menor).

Passo 6

Exemplos práticos para fixar a intuição (úteis para a prova)
  • Entre \mathrm{Na^+} e \mathrm{K^+}: apesar de \mathrm{K^+} ter raio cristalográfico maior, \mathrm{K^+} costuma ter mobilidade maior porque é menos fortemente hidratado (menor r_h) do que \mathrm{Na^+}. Então o tamanho “nu” engana; o que importa é a solvatação.
  • \mathrm{H^+} tem mobilidade muito alta por mecanismo de salto, portanto é uma exceção clara à lei de Stokes.
  • Íons multivalentes ( \mathrm{Mg^{2+}}, \mathrm{Al^{3+}}) usualmente têm mobilidades baixas por hidratação intensa e maior r_h.

Passo 7

Como responder rápido numa prova (receita prática)
  • Comece definindo \mu=v/E.
  • Se o enunciado permitir o modelo hidrodinâmico, escreva rapidamente a balança de forças e apresente
\mu=\frac{z e}{6\pi\eta r_h}.
  • Declare as hipóteses: íon esférico, solução diluída, escoamento laminar, transporte por arraste viscoso.
  • Acrescente que, na prática, usar r_h (raio hidratado) é essencial e cite as exceções importantes: próton/hidroxila (Grotthuss), fortes interações íon-íon ou concentrações altas, e limites moleculares onde Stokes falha.

Passo 8

Força moral: não se apavore — decorar a forma \mu\propto 1/r_h e saber mencionar hidratação e exceções (especialmente o caso do próton) resolve a maior parte das questões sobre esse tema numa prova. Vai dar certo!

Resposta

A mobilidade é, em boa aproximação, inversamente proporcional ao raio hidrodinâmico do íon: \displaystyle \mu=\frac{z e}{6\pi\eta r_h}, ou seja, quanto maior o raio hidrodinâmico r_h (mais resistência viscosa), menor \mu.
Não; essa relação não vale universalmente para todos os íons em água — ela só é válida sob as hipóteses do modelo hidrodinâmico (íon esférico, solução diluída, transporte por arraste viscoso). Existem exceções importantes (por exemplo \mathrm{H^+} e \mathrm{OH^-} pelo mecanismo de Grotthuss, íons muito fortemente hidratados, concentrações altas e regimes onde o modelo contínuo falha).

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