A relação entre a fertilidade da espiga f(x) e a temperatura do dossel x em { }^{\circ} C no arroz é dada por
f(x)=860-234 \cdot \ln x .
(a) Considerando a fertilidade em percentual, determine os valores de x, nos quais a função acima faz sentido.
(b) Calcule \lim _{x \rightarrow+0} f(x). Interprete o resultado obtido.
(c) Esboce o gráfico de f.
(d) Descreva o comportamento do modelo.

Passo 1

O enunciado dá a função de fertilidade em percentual
f(x)=860-234\ln x
onde x é a temperatura do dossel em {}^\circ C. Vamos usar conhecimentos de domínio de funções logarítmicas, limites e comportamento de curvas decrescentes para responder (a)–(d).

Passo 2

Para a função estar bem definida precisamos de \ln x existir, ou seja x>0. Além disso, como f(x) é uma porcentagem entre 0\% e 100\%, impomos
0 \le f(x)\le 100.
Isso dá duas desigualdades:
860-234\ln x \ge 0 \quad\Longrightarrow\quad \ln x \le \frac{860}{234},
860-234\ln x \le 100 \quad\Longrightarrow\quad \ln x \ge \frac{760}{234}\times(-1).
Resolvendo,
\ln x \le \frac{860}{234}\quad\Longrightarrow\quad x \le \exp\!\bigl(\tfrac{860}{234}\bigr),
\ln x \ge -\frac{760}{234}\quad\Longrightarrow\quad x \ge \exp\!\bigl(-\tfrac{760}{234}\bigr).
Numericamente,
\exp\!\bigl(-\tfrac{760}{234}\bigr)\approx 0{,}039, \quad \exp\!\bigl(\tfrac{860}{234}\bigr)\approx 39{,}4.

Passo 3

Calcular \displaystyle \lim_{x\to0^+}f(x). Como \ln x\to -\infty quando x\to0^+, temos
f(x)=860-234\ln x \;\longrightarrow\; 860 -234\cdot(-\infty)=+\infty.

Passo 4

Para esboçar o gráfico de f(x):
– Há assíntota vertical em x=0 porque f(x)\to+\infty quando x\to0^+.
– A derivada é
f'(x)=-234\cdot\frac1x<0\quad\forall x>0,
logo f é estritamente decrescente.
– Quando x\to+\infty, \ln x\to+\infty e f(x)\to-\infty.
O esboço é uma curva que parte de +\infty em x=0^+, decresce passando por f(1)=860, e tende a -\infty para x\to\infty.

Passo 5

O comportamento do modelo é o de uma queda lenta a princípio (pois o log cresce devagar), mas continua decrescendo indefinidamente à medida que a temperatura aumenta. Na prática, o modelo só faz sentido em x dentro do intervalo em que f permanece entre 0\% e 100\%.

Passo 6

Interpretação: o modelo prevê fertilidade muito alta para temperaturas muito baixas (o que é irreal além de x próximo de zero), e fertilidade negativa para temperaturas muito altas. Portanto, só é válido para
0{,}039\le x\le 39{,}4\,{}^\circ\!C.

Resposta

(a) x>0 e, para 0\%\le f(x)\le100\%,
\exp\!\bigl(-\tfrac{760}{234}\bigr)\le x\le \exp\!\bigl(\tfrac{860}{234}\bigr),
isto é, 0{,}039\le x\le 39{,}4.
(b) \displaystyle \lim_{x\to0^+}f(x)=+\infty. Interpretação: o modelo estoura para temperaturas muito baixas.
(c) Gráfico: curva com assíntota vertical em x=0, estritamente decrescente de +\infty a -\infty.
(d) Comportamento: fertilidade diminui quando a temperatura sobe; modelo só vale no intervalo onde f fica entre 0 e 100%.

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