A relação entre a fertilidade da espiga
e a temperatura do dossel
em
no arroz é dada por
(a) Considerando a fertilidade em percentual, determine os valores de
, nos quais a função acima faz sentido.
(b) Calcule
. Interprete o resultado obtido.
(c) Esboce o gráfico de
.
(d) Descreva o comportamento do modelo.
(b) Calcule
(c) Esboce o gráfico de
(d) Descreva o comportamento do modelo.
Passo 1
O enunciado dá a função de fertilidade em percentual
onde
é a temperatura do dossel em
. Vamos usar conhecimentos de domínio de funções logarítmicas, limites e comportamento de curvas decrescentes para responder (a)–(d).
Passo 2
Para a função estar bem definida precisamos de
existir, ou seja
Além disso, como
é uma porcentagem entre
e
, impomos
Isso dá duas desigualdades:
Resolvendo,
Numericamente,
Passo 3
Calcular
. Como
quando
, temos
Passo 4
Para esboçar o gráfico de
:
– Há assíntota vertical em porque
quando
.
– A derivada é
– Há assíntota vertical em
– A derivada é
logo
é estritamente decrescente.
– Quando ,
e
.
O esboço é uma curva que parte de em
, decresce passando por
, e tende a
para
.
– Quando
O esboço é uma curva que parte de
Passo 5
O comportamento do modelo é o de uma queda lenta a princípio (pois o log cresce devagar), mas continua decrescendo indefinidamente à medida que a temperatura aumenta. Na prática, o modelo só faz sentido em
dentro do intervalo em que
permanece entre
e
.
Passo 6
Interpretação: o modelo prevê fertilidade muito alta para temperaturas muito baixas (o que é irreal além de
próximo de zero), e fertilidade negativa para temperaturas muito altas. Portanto, só é válido para
Resposta
(a)
e, para
,
isto é,
.
(b) . Interpretação: o modelo estoura para temperaturas muito baixas.
(c) Gráfico: curva com assíntota vertical em , estritamente decrescente de
a
.
(d) Comportamento: fertilidade diminui quando a temperatura sobe; modelo só vale no intervalo onde fica entre 0 e 100%.
(b)
(c) Gráfico: curva com assíntota vertical em
(d) Comportamento: fertilidade diminui quando a temperatura sobe; modelo só vale no intervalo onde