A relação entre a fertilidade da espiga f(x) e a temperatura do dossel x em { }^{\circ} C no arroz é dada por
f(x)=860-234 \cdot \ln x .
(a) Considerando a fertilidade em percentual, determine os valores de x, nos quais a função acima faz sentido.
(b) Calcule \lim _{x \rightarrow+0} f(x). Interprete o resultado obtido.
(c) Esboce o gráfico de f.
(d) Descreva o comportamento do modelo.

Passo 1

O enunciado dá a relação entre fertilidade em percentual f(x) e temperatura do dossel x em ^\circ\mathrm C:
f(x)=860-234\cdot\ln x.
Precisamos:
– (a) determinar os valores de x para os quais f(x) faz sentido como percentual (isto é, 0\le f(x)\le100),
– (b) calcular \lim_{x\to0^+}f(x) e interpretar,
– (c) esboçar o gráfico de f,
– (d) descrever o comportamento do modelo.

Passo 2

Antes de impor o intervalo de percentuais, a função só existe para x>0, pois \ln x exige x>0.
Para que f(x) represente um percentual válido, exigimos
0 \;\le\; 860-234\ln x \;\le\;100.

Passo 3

Resolvendo as duas desigualdades em cadeia:
0 \le 860-234\ln x \le 100
é equivalente a
234\ln x \le 860 \quad\text{e}\quad 234\ln x \ge 760.
Logo
\ln x \le \frac{860}{234}, \quad \ln x \ge \frac{760}{234},
x \le \exp\!\Bigl(\frac{860}{234}\Bigr), \quad x \ge \exp\!\Bigl(\frac{760}{234}\Bigr).
Portanto, em valores aproximados,
x\in\bigl[e^{760/234},\,e^{860/234}\bigr]\approx[25{,}7,\;39{,}4].

Passo 4

Para o limite em zero:
\lim_{x\to0^+}f(x) = \lim_{x\to0^+}\bigl(860-234\ln x\bigr) =860-234\cdot(-\infty) =+\infty.
Interpretação: segundo o modelo, à medida que a temperatura se aproxima de zero, a fertilidade cresce sem limite, o que não faz sentido biológico. Isso indica que o modelo só vale para temperaturas dentro de um intervalo razoável acima de zero.

Passo 5

Derivada e formato do gráfico:
f'(x)=-\frac{234}{x}<0\quad(\forall x>0),
ou seja, f é estritamente decrescente.
– Assíntota vertical em x=0 (pois f\to+\infty).
– Para x\to+\infty, \ln x\to+\infty e f(x)\to-\infty.
Pontos de destaque:
f(1)=860, \quad f\bigl(e^{760/234}\bigr)=100, \quad f\bigl(e^{860/234}\bigr)=0.
O esboço tem forma de uma curva logarítmica decrescente, cruzando f=100 em x\approx25{,}7 e f=0 em x\approx39{,}4.

Passo 6

Comportamento do modelo:
– Para 0<x<e^{760/234}, f(x)>100: predição biologicamente impossível.
– Para e^{760/234}\le x\le e^{860/234}, 0\le f(x)\le100: faixa de validade realista.
– Para x>e^{860/234}, f(x)<0: fertilidade negativa, sem sentido biológico.
Em resumo, a fertilidade decresce monotonamente com a temperatura, válida somente no intervalo \approx[25{,}7,39{,}4]\;^\circ\mathrm C.

Resposta

(a) x\in[e^{760/234},\,e^{860/234}]\approx[25{,}7,\;39{,}4].
(b) \displaystyle\lim_{x\to0^+}f(x)=+\infty. Isso mostra que o modelo é inválido para temperaturas muito baixas.
(c) Gráfico: curva decrescente com assíntota vertical em x=0, cruza f=100 em x\approx25{,}7 e f=0 em x\approx39{,}4, cai para -\infty conforme x\to\infty.
(d) O modelo prevê fertilidade excessiva para x<25{,}7, faixa realista para 25{,}7\le x\le39{,}4, e fertilidade negativa para x>39{,}4; de modo geral, fertilidade decresce monoticamente com a temperatura.

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