A relação entre a fertilidade da espiga
e a temperatura do dossel
em
no arroz é dada por
(a) Considerando a fertilidade em percentual, determine os valores de
, nos quais a função acima faz sentido.
(b) Calcule
. Interprete o resultado obtido.
(c) Esboce o gráfico de
.
(d) Descreva o comportamento do modelo.
(b) Calcule
(c) Esboce o gráfico de
(d) Descreva o comportamento do modelo.
Passo 1
O enunciado dá a relação entre fertilidade em percentual
e temperatura do dossel
em
:
Precisamos:
– (a) determinar os valores de para os quais
faz sentido como percentual (isto é,
),
– (b) calcular e interpretar,
– (c) esboçar o gráfico de ,
– (d) descrever o comportamento do modelo.
– (a) determinar os valores de
– (b) calcular
– (c) esboçar o gráfico de
– (d) descrever o comportamento do modelo.
Passo 2
Antes de impor o intervalo de percentuais, a função só existe para
, pois
exige
.
Para que represente um percentual válido, exigimos
Para que
Passo 3
Resolvendo as duas desigualdades em cadeia:
é equivalente a
Logo
Portanto, em valores aproximados,
Passo 4
Para o limite em zero:
Interpretação: segundo o modelo, à medida que a temperatura se aproxima de zero, a fertilidade cresce sem limite, o que não faz sentido biológico. Isso indica que o modelo só vale para temperaturas dentro de um intervalo razoável acima de zero.
Passo 5
Derivada e formato do gráfico:
ou seja,
é estritamente decrescente.
– Assíntota vertical em (pois
).
– Para ,
e
.
Pontos de destaque:
– Assíntota vertical em
– Para
Pontos de destaque:
O esboço tem forma de uma curva logarítmica decrescente, cruzando
em
e
em
.
Passo 6
Comportamento do modelo:
– Para ,
: predição biologicamente impossível.
– Para ,
: faixa de validade realista.
– Para ,
: fertilidade negativa, sem sentido biológico.
Em resumo, a fertilidade decresce monotonamente com a temperatura, válida somente no intervalo .
– Para
– Para
– Para
Em resumo, a fertilidade decresce monotonamente com a temperatura, válida somente no intervalo
Resposta
(a)
.
(b) . Isso mostra que o modelo é inválido para temperaturas muito baixas.
(c) Gráfico: curva decrescente com assíntota vertical em , cruza
em
e
em
, cai para
conforme
.
(d) O modelo prevê fertilidade excessiva para , faixa realista para
, e fertilidade negativa para
; de modo geral, fertilidade decresce monoticamente com a temperatura.
(b)
(c) Gráfico: curva decrescente com assíntota vertical em
(d) O modelo prevê fertilidade excessiva para