Qual a relação entre K_{S} e S , quando uma reação promovida por um microrganismo ocorre a 85 \% de \mu_{\max } ? (1,0 ponto).

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Pede a relação entre K_{S} e S quando a reação ocorre a 85\% de \mu_{\max}.
  • Informação dada: a taxa específica \mu vale 0,85\,\mu_{\max}.

Passo 2

Fórmula que descreve a dependência da taxa específica \mu com a concentração de substrato S (Monod):
\mu = \mu_{\max}\,\frac{S}{K_{S}+S}
Explicando cada símbolo (gentil e direto):
  • \mu é a taxa específica de crescimento (ou de reação) nas condições atuais;
  • \mu_{\max} é a taxa específica máxima possível para o microrganismo;
  • S é a concentração do substrato limitante;
  • K_{S} é a constante de semissaturação (concentração de S em que \mu = \tfrac{1}{2}\mu_{\max}).
    Essa equação significa: quanto maior S, mais perto de \mu_{\max} você chega; K_{S} mede a afinidade do microrganismo pelo substrato (menor K_{S} = maior afinidade).

Passo 3

Agora substituímos \mu = 0,85\,\mu_{\max} na equação e resolvemos para K_{S}. Começando:
0,85\,\mu_{\max} = \mu_{\max}\,\frac{S}{K_{S}+S}
Cancelamos \mu_{\max} dos dois lados (positivo, então pode cancelar):
0,85 = \frac{S}{K_{S}+S}
Multiplicamos ambos os lados por K_{S}+S:
0,85\,(K_{S}+S)=S
Distribuímos o 0,85:
0,85\,K_{S}+0,85\,S = S
Passamos o termo em S do lado esquerdo para o direito:
0,85\,K_{S} = S-0,85\,S
Calculamos S-0,85\,S = 0,15\,S, então:
0,85\,K_{S} = 0,15\,S
Finalmente isolamos K_{S}:
K_{S} = \frac{0,15}{0,85}\,S

Passo 4

Simplificando a fração \dfrac{0,15}{0,85}:
\frac{0,15}{0,85}=\frac{15}{85}=\frac{3}{17}\approx 0,17647\ldots
Portanto temos a relação final e uma interpretação prática:
K_{S}=\frac{3}{17}\,S\approx 0,1765\,S.
Isto significa que, para que a taxa esteja a 85\% de \mu_{\max}, a concentração de substrato S precisa ser cerca de 5{,}67 vezes maior que K_{S} (pois S/K_{S}=17/3\approx 5{,}666\ldots). Em palavras: quando S\approx 5{,}67\,K_{S}, a velocidade está em 85\% do máximo — ou, invertendo, K_{S} é cerca de 17{,}6\% de S.

Passo 5

Exemplo numérico rápido para fixar a ideia (só para treinar na prova): se S=100 (unidades quaisquer), então
K_{S}=\frac{3}{17}\cdot 100\approx 17{,}65.
Ou seja, com S=100 a taxa seria 85\% de \mu_{\max} quando K_{S} for cerca de 17{,}65.

Resposta

K_{S}=\dfrac{0,15}{0,85}\,S=\dfrac{3}{17}\,S\approx 0,1765\,S

Exercícios relacionados