Qual a relação entre tempo e temperatura na recristalização?

Passo 1

O enunciado pergunta qual é a relação entre o tempo de recristalização e a temperatura de tratamento. Este é um problema de cinética de recristalização em materiais metálicos, que envolve entender como a taxa de formação de novos grãos depende da temperatura. Para resolver, vamos usar a teoria de cinética de transformação de fases, em especial a equação de Avrami e a dependência de Arrhenius do parâmetro de taxa.

Passo 2

A fração recristalizada X(t) em função do tempo t é descrita pela equação de Avrami:
X(t) = 1 - \exp\bigl(-k\,t^n\bigr),
em que
k é a constante de taxa de recristalização e
n é o expoente de Avrami (tipicamente entre 2 e 4).

Passo 3

A constante k tem dependência de Arrhenius com a temperatura absoluta T:
k = k_0 \,\exp\!\bigl(-\tfrac{Q}{R\,T}\bigr),
onde
k_0 é um fator pré-exponencial,
Q é a energia de ativação da recristalização,
R é a constante universal dos gases e
T é a temperatura em kelvin.

Passo 4

Para alcançar uma determinada fração X (por exemplo X=0{,}5 ou 50\%), isolamos t:
t = \Bigl[-\ln\bigl(1 - X\bigr)\Bigr]^{1/n} \;k^{-1/n} = \Bigl[-\ln\bigl(1 - X\bigr)\Bigr]^{1/n} \;k_0^{-1/n}\;\exp\!\Bigl(\tfrac{Q}{n\,R\,T}\Bigr).
Isso mostra que t decresce de forma exponencial quando T aumenta.

Passo 5

Em termos qualitativos:
  • Quanto maior a temperatura T, maior é k e, portanto, menor o tempo t necessário para uma mesma fração de recristalização.
  • Pequenos aumentos em T provocam grandes quedas em t pela dependência exponencial.
  • Acima de certo limite de temperatura, a recristalização é muito rápida, mas tende a ocorrer crescimento de grãos (coarsening).

Resposta

O tempo de recristalização varia com a temperatura segundo uma lei de Arrhenius, de modo que
t \propto \exp\!\Bigl(\tfrac{Q}{n\,R\,T}\Bigr),
ou seja, aumentando T, o tempo t necessário cai exponencialmente.

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