Qual a relação entre a tensão de pico e a tensão eficaz de um sinal senoidal ?

Passo 1

O enunciado pede a relação entre a tensão de pico V_{p} e a tensão eficaz (ou RMS) V_{\rm ef} de um sinal senoidal. Para isso vamos usar a definição de valor eficaz de uma função periódica e aplicá-la à forma v(t)=V_{p}\sin(\omega t).

Passo 2

Definimos a tensão eficaz como
V_{\rm ef} \;=\; \sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T} \bigl(v(t)\bigr)^{2}\,dt}\,,
onde T é o período do sinal. Substituindo v(t)=V_{p}\sin(\omega t) obtemos
V_{\rm ef} =\sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T} \bigl(V_{p}\sin(\omega t)\bigr)^{2}\,dt} =\sqrt{\frac{V_{p}^{2}}{T}\int_{0}^{T}\sin^{2}(\omega t)\,dt}\,.

Passo 3

Sabemos que, ao longo de um período completo, a média de \sin^{2} vale 1/2, isto é,
\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\sin^{2}(\omega t)\,dt = \frac{1}{2}.
Logo
V_{\rm ef} =\sqrt{V_{p}^{2}\cdot\frac{1}{2}} =\frac{V_{p}}{\sqrt{2}}\,.

Passo 4

Isolando V_{p}, temos também
V_{p}=V_{\rm ef}\,\sqrt{2}\,.

Resposta

\displaystyle V_{\rm ef}=\frac{V_{p}}{\sqrt{2}} (ou, equivalentemente, V_{p}=V_{\rm ef}\,\sqrt{2}).

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