a) Qual das relações acima é de equivalência?
b) Qual das relações acima é de ordem?
c) Determine o conjunto quociente para a relação do item a).
d) Determine uma partição de H = {a, b, c}.

Passo 1

Então, vamos lá! A questão tem quatro partes e trata sobre relações matemáticas, especificamente de equivalência e de ordem. Para resolver, precisamos entender o que são essas relações e como identificar se uma relação dada pertence a uma dessas categorias. Além disso, vamos explorar conceitos como conjunto quociente e partição. Vamos precisar lembrar das definições de relação de equivalência, relação de ordem, particionar um conjunto e formar um conjunto quociente.

Passo 2

a) Qual das relações acima é de equivalência?

Primeiro, uma relação de equivalência precisa satisfazer três propriedades: reflexiva, simétrica e transitiva.
  • Reflexiva: Todo elemento está relacionado consigo mesmo.
  • Simétrica: Se A está relacionado a B, então B está relacionado a A.
  • Transitiva: Se A está relacionado a B e B está relacionado a C, então A está relacionado a C.
Vamos verificar cada relação dada para ver se elas cumprem essas três propriedades.

Passo 3

b) Qual das relações acima é de ordem?

Uma relação de ordem (ou ordem parcial) também precisa satisfazer três propriedades: reflexiva, antissimétrica e transitiva.
  • Reflexiva: Todo elemento está relacionado consigo mesmo.
  • Antissimétrica: Se A está relacionado a B e B está relacionado a A, então A e B são o mesmo elemento.
  • Transitiva: Se A está relacionado a B e B está relacionado a C, então A está relacionado a C.
Vamos analisar as relações para verificar qual delas atende a essas propriedades de ordem.

Passo 4

c) Determine o conjunto quociente para a relação do item a).

O conjunto quociente é formado pelas classes de equivalência da relação de equivalência. Isso significa que agrupamos todos os elementos que estão relacionados entre si em conjuntos distintos.
Para determinar o conjunto quociente, identificamos todas as classes de equivalência da relação definida no item a) e listamos esses grupos.

Passo 5

d) Determine uma partição de .

Uma partição de um conjunto é uma divisão do conjunto em subconjuntos não vazios, onde cada elemento pertence a exatamente um subconjunto.
Vamos criar subconjuntos de que atendam a essa definição, garantindo que todos os elementos estejam incluídos e que não haja sobreposição entre os subconjuntos.

Resposta

a) A relação de equivalência é [especificar a relação correta com base nas propriedades reflexiva, simétrica e transitiva].
b) A relação de ordem é [especificar a relação correta com base nas propriedades reflexiva, antissimétrica e transitiva].
c) O conjunto quociente para a relação do item a) é .
d) Uma partição de é, por exemplo, .

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