Na Relatividade Restrita, a separação entre dois eventos pode ser caracterizada pelo intervalo espaço-tempo invariante \Delta s^{2}=(c \Delta t)^{2}-(\Delta x)^{2},
o qual assume o mesmo valor em todos os referenciais inerciais. Considerando dois eventos ao longo de uma única dimensão espacial, se \Delta s^{2}>0 (intervalo do tipo “tempo”), isso significa que:
a) Existe um referencial inercial no qual os dois eventos são simultâneos.
b) Os dois eventos podem estar causalmente conectados, sendo possível que um influencie o outro por meio de um sinal com velocidade menor ou igual à da luz.
c) A ordem temporal dos eventos depende do referencial adotado e pode ser invertida.
d) Os dois eventos só podem ser conectados por sinais superluminais.
e) O intervalo espaço-tempo entre os eventos deixa de ser invariante.
Passo 1
O enunciado dá a separação invariante entre dois eventos em 1D espacial:
\Delta s^{2}=(c\Delta t)^{2}-(\Delta x)^{2},
e afirma que \Delta s^{2}>0. A pergunta é escolher, entre as alternativas (a)–(e), qual é a correta para esse caso. Vou listar as informações relevantes extraídas do enunciado:
Há apenas uma dimensão espacial (\Delta x é a separação espacial).
O valor dado é \Delta s^{2}>0 (intervalo do tipo “tempo” ou timelike).
Deve-se avaliar as afirmações sobre simultaneidade, causalidade, ordem temporal, necessidade de sinais superluminais e invariância do intervalo.
Passo 2
O que significa \Delta s^{2}>0 de forma física e geométrica?
Quando \Delta s^{2}>0 dizemos que a separação é timelike (do tipo tempo). Geometricamente, os dois eventos caem dentro do cone de luz um do outro (ou seja, um evento está no futuro ou passado no cone de luz do outro).
Isto significa que a velocidade média necessária para ir de um evento ao outro, |\Delta x|/|\Delta t|, é menor que c.
Passo 3
Fórmulas de transformação de Lorentz (1D): entre dois referenciais inerciais em movimento relativo com velocidade v temos para as diferenças de coordenadas
\Delta x'=\gamma\bigl(\Delta x - v\,\Delta t\bigr), \qquad \Delta t'=\gamma\Bigl(\Delta t - \dfrac{v\,\Delta x}{c^{2}}\Bigr),
Estas fórmulas são úteis para verificar se existe algum referencial em que \Delta x'=0 (mesma posição) ou \Delta t'=0 (simultaneidade).
Passo 4
Para \Delta s^{2}>0 (timelike) existe um referencial onde os dois eventos ocorrem no mesmo lugar (\Delta x'=0). Mostro isso escolhendo v adequadamente: coloque
v=\dfrac{\Delta x}{\Delta t}.
Como |\Delta x|<c|\Delta t| segue |v|<c, logo essa escolha é admissível. Substituindo em \Delta x':
\Delta x'=\gamma\bigl(\Delta x - v\Delta t\bigr)=\gamma\bigl(\Delta x - \tfrac{\Delta x}{\Delta t}\Delta t\bigr)=0.
Portanto existe um referencial em que \Delta x'=0 (os eventos ocorrem no mesmo ponto espacial, em instantes diferentes). Observe: isso mostra que a alternativa (a), que afirma existência de um referencial em que os eventos são simultâneos, está incorreta — a propriedade correta para timelike é “mesmo lugar” em algum referencial, não “mesmo tempo”.
Passo 5
Causalidade: se \Delta s^{2}>0 então os eventos podem estar causalmente conectados por meios que não excedam a velocidade da luz. Explicação passo‑a‑passo:
Como |\Delta x|<c|\Delta t|, é possível enviar um sinal com velocidade u tal que |u|=\dfrac{|\Delta x|}{|\Delta t|}<c. Esse u é menor que c, logo um sinal material (ou uma partícula) pode ligar os dois eventos sem violar a velocidade da luz.
Alternativamente, no referencial em que \Delta x'=0 (existente como mostrado), os dois eventos ocorrem no mesmo lugar separados por um intervalo temporal \Delta t'=\sqrt{\Delta s^{2}}/c>0. Um observador localizado aí pode, num intervalo de tempo \Delta t', executar uma ação no primeiro evento que atinge o segundo sem ultrapassar c.
Isso confirma que a alternativa (b) é verdadeira: os dois eventos podem ser causalmente conectados por sinais com velocidade menor ou igual a c (igual a c corresponde ao caso limite lightlike, aqui estritamente timelike permite velocidade estritamente menor que c).
Passo 6
Sobre a ordem temporal: a ordem temporal de dois eventos timelike é a mesma em todos os referenciais inerciais — não pode ser invertida. Demonstração simples por desigualdade: suponha \Delta t>0. Então |\Delta x|<c\Delta t. Para qualquer |v|<c temos
\Bigl|\dfrac{v\Delta x}{c^{2}}\Bigr|\le \dfrac{|v|\,|\Delta x|}{c^{2}} < \dfrac{|v| c\Delta t}{c^{2}}=\dfrac{|v|}{c}\,\Delta t<\Delta t.
Logo \Delta t - \dfrac{v\Delta x}{c^{2}}>0, e como \gamma>0 segue \Delta t'>0. Assim, se num referencial o evento 1 precede o evento 2 (\Delta t>0), isso vale em todos os referenciais. Portanto a alternativa (c) está errada (a inversão de ordem só ocorre para separações spacelike).
Passo 7
Verificação rápida das demais alternativas:
(d) “Os dois eventos só podem ser conectados por sinais superluminais.” — falso: já vimos que existe sinal sub‑luminal possível.
(e) “O intervalo deixa de ser invariante.” — falso: por definição \Delta s^{2} é invariante entre referenciais inerciais.
Passo 8
Resumo mental fácil de decorar:
\Delta s^{2}>0 (timelike) → possível conexão causal sub‑luminal, existe referencial onde \Delta x'=0, ordem temporal preservada.
\Delta s^{2}=0 (lightlike) → conexão exatamente à velocidade c.
\Delta s^{2}<0 (spacelike) → possível simultaneidade em algum referencial (\Delta t'=0), ordem pode ser invertida, não há conexão causal sub‑luminal.
Você já tem a resposta certa e a razão física — respira, isso cai bastante em prova.