Em um laboratório de automação, uma barra homogênea de massa
e comprimento
está disposta horizontalmente e pode girar livremente (sem atrito) em torno de um eixo vertical que passa pelo seu centro.
Um atuador aplica uma força
constante de módulo
em um ponto situado a
do centro da barra. Durante todo o movimento, a força é mantida sempre perpendicular à barra, de modo que o torque aplicado permanece constante.
Determine o ângulo girado pela barra após
, contado desde o repouso.
a)
.
b)
.
c)
.
d)
.
е)
.
Um atuador aplica uma força
a)
b)
c)
d)
е)
Passo 1
O enunciado nos dá os seguintes dados (todos retirados do enunciado):
- massa da barra:
. - comprimento da barra:
. - a barra está inicialmente em repouso e pode girar livremente em torno de um eixo vertical que passa pelo seu centro.
- força aplicada:
, aplicada sempre perpendicular à barra num ponto a do centro. - a força permanece constante e perpendicular à barra durante todo o movimento (logo o torque é constante).
- intervalo de tempo contado desde o repouso:
.
O que o problema pede:
- determinar o ângulo girado pela barra durante o intervalo
(escolher entre as alternativas fornecidas).
Passo 2
Calcular o torque constante aplicado pela força.
Definição: o torque (ou momento) de uma força aplicada a uma distância do eixo, quando a força é perpendicular ao braço, é
Definição: o torque (ou momento) de uma força aplicada a uma distância
Substituindo os valores fornecidos:
Passo 3
Calcular o momento de inércia da barra em relação ao eixo que passa pelo centro e é perpendicular ao comprimento.
Explicação e derivação rápida (importante entender para a prova): o momento de inércia de um corpo é a soma (ou integral) de vezes a massa elementar. Para uma barra homogênea de comprimento
e massa
, tomando a coordenada
ao longo da barra com origem no centro, tem-se
e cada pedaço está a distância
do eixo. Assim
Explicação e derivação rápida (importante entender para a prova): o momento de inércia de um corpo é a soma (ou integral) de
Calculando a integral:
Agora substituir numericamente:
Passo 4
Relacionar torque com aceleração angular.
Princípio (análogo a na translação): o equilíbrio dinâmico rotacional é
Princípio (análogo a
onde
é a aceleração angular. Como
e
são constantes aqui,
será constante. Logo
Passo 5
Usar as equações do movimento rotacional com aceleração angular constante para obter o ângulo girado.
Análogo à , para rotação com velocidade angular inicial nula (
) temos
Análogo à
Como a barra parte do repouso e podemos tomar
, fica
Substituindo
e
:
Portanto
Simplificando:
Passo 6
Converter o ângulo para graus e comparar com as alternativas.
Conversão:
Conversão:
Essa corresponde à alternativa (c).
Resposta
c)