Q2) Um relógio atômico é colocado em um avião a jato. O relógio mede um intervalo de tempo de 3600 s quando o jato se move a uma velocidade de 400 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Qual é o intervalo de tempo medido por um relógio idêntico, segurado por um observador em repouso no solo?

Passo 1

O enunciado dá que um relógio preso num avião registra um intervalo de tempo de \,3600\\ \mathrm{s}\, quando o avião se move com velocidade \,400\\ \mathrm{m/s}\,. A pergunta é: qual intervalo de tempo um relógio idêntico, segurado por um observador em repouso no solo, mede enquanto o avião se move nessa velocidade?
Informações importantes extraídas do enunciado:
\bullet Intervalo medido pelo relógio no avião: \,\Delta \tau = 3600\\ \mathrm{s}\,.
\bullet Velocidade do avião (relativa ao observador no solo): \,v = 400\\ \mathrm{m/s}\,.
\bullet Queremos o intervalo de tempo medido pelo observador no solo: chamarei esse intervalo de \,\Delta t\,.

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicado passo a passo): existe uma relação entre o tempo medido por um relógio que está no mesmo lugar dos eventos (tempo próprio) e o tempo medido em um referencial onde esse relógio está em movimento. A fórmula é a seguinte:
\Delta t = \gamma\,\Delta \tau
onde
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}}}.
Explicando cada símbolo:
\bullet \Delta \tau é o tempo próprio: o intervalo medido pelo relógio que está junto aos eventos (aqui, o relógio no avião).
\bullet \Delta t é o tempo medido em um referencial onde o relógio se move (aqui, o observador no solo).
\bullet v é a velocidade relativa entre os referenciais (aqui, 400\\ \mathrm{m/s}).
\bullet c é a velocidade da luz no vácuo (aproximaremos por c = 3{,}00\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}).
Intuição curta e útil: o observador que vê o relógio em movimento medirá um intervalo maior que o próprio relógio (o relógio em movimento “anda mais devagar” segundo esse observador). Por isso \Delta t \ge \Delta \tau.

Passo 3

Justificativa de qual tempo é qual no nosso problema: os dois instantes que definem o intervalo ( t_1 e t_2) ocorrem no mesmo relógio do avião (o relógio está no mesmo lugar no referencial do avião), logo o tempo registrado pelo relógio do avião é o tempo próprio. Portanto podemos identificar
\Delta \tau = 3600\\ \mathrm{s}.
O que queremos é então
\Delta t = \gamma\,\Delta \tau.

Passo 4

Calcular a razão \dfrac{v^{2}}{c^{2}}. Primeiro elevamos a velocidade ao quadrado:
v^{2} = (400\\ \mathrm{m/s})^{2} = 160000\\ \mathrm{m^{2}/s^{2}}.
Agora calculamos
\frac{v^{2}}{c^{2}} = \frac{160000}{(3{,}00\times10^{8})^{2}} = \frac{160000}{9{,}00\times10^{16}}.
Fazendo a divisão:
\frac{v^{2}}{c^{2}} \approx 1{,}777\ldots\times10^{-12}.

Passo 5

Como \dfrac{v^{2}}{c^{2}} é um número extremamente pequeno, podemos usar a aproximação de série (expansão binomial) para \gamma. Para x\ll1 vale
\frac{1}{\sqrt{1-x}}\approx 1+\frac{x}{2}.
Aqui x=\dfrac{v^{2}}{c^{2}}. Assim
\gamma \approx 1 + \frac{1}{2}\frac{v^{2}}{c^{2}}.
Substituindo o valor numérico encontrado:
\gamma \approx 1 + \frac{1}{2}\times 1{,}777\times10^{-12} \approx 1 + 8{,}885\times10^{-13}.

Passo 6

Agora calculamos \Delta t = \gamma\,\Delta \tau. Usando \Delta \tau = 3600\\ \mathrm{s} e a aproximação para \gamma,
\Delta t \approx 3600\left(1 + 8{,}885\times10^{-13}\right).
Distribuindo:
\Delta t \approx 3600 + 3600\times 8{,}885\times10^{-13}.
Calculando o termo pequeno:
3600\times 8{,}885\times10^{-13} \approx 3{,}20\times10^{-9}\\ \mathrm{s}.
Portanto
\Delta t \approx 3600 + 3{,}20\times10^{-9}\\ \mathrm{s}.

Passo 7

Interpretação do resultado: o observador no solo medirá um intervalo ligeiramente maior que o relógio no avião, mas a diferença é minúscula (da ordem de alguns nanossegundos para uma hora). Escrevendo o valor com todos os dígitos relevantes:
\Delta t \approx 3600{,}0000000032\\ \mathrm{s}.

Resposta

3600{,}0000000032\\ \mathrm{s}

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