Q2) Um relógio atômico é colocado em um avião a jato. O relógio mede um intervalo de tempo de 3600 s quando o jato se move a uma velocidade de
. Qual é o intervalo de tempo medido por um relógio idêntico, segurado por um observador em repouso no solo?
Passo 1
O enunciado dá que um relógio preso num avião registra um intervalo de tempo de
quando o avião se move com velocidade
. A pergunta é: qual intervalo de tempo um relógio idêntico, segurado por um observador em repouso no solo, mede enquanto o avião se move nessa velocidade?
Informações importantes extraídas do enunciado:
Intervalo medido pelo relógio no avião:
.
Velocidade do avião (relativa ao observador no solo):
.
Queremos o intervalo de tempo medido pelo observador no solo: chamarei esse intervalo de
.
Informações importantes extraídas do enunciado:
Passo 2
Conceito que vamos usar (explicado passo a passo): existe uma relação entre o tempo medido por um relógio que está no mesmo lugar dos eventos (tempo próprio) e o tempo medido em um referencial onde esse relógio está em movimento. A fórmula é a seguinte:
onde
Explicando cada símbolo:
é o tempo próprio: o intervalo medido pelo relógio que está junto aos eventos (aqui, o relógio no avião).
é o tempo medido em um referencial onde o relógio se move (aqui, o observador no solo).
é a velocidade relativa entre os referenciais (aqui,
).
é a velocidade da luz no vácuo (aproximaremos por
).
Intuição curta e útil: o observador que vê o relógio em movimento medirá um intervalo maior que o próprio relógio (o relógio em movimento “anda mais devagar” segundo esse observador). Por isso .
Intuição curta e útil: o observador que vê o relógio em movimento medirá um intervalo maior que o próprio relógio (o relógio em movimento “anda mais devagar” segundo esse observador). Por isso
Passo 3
Justificativa de qual tempo é qual no nosso problema: os dois instantes que definem o intervalo (
e
) ocorrem no mesmo relógio do avião (o relógio está no mesmo lugar no referencial do avião), logo o tempo registrado pelo relógio do avião é o tempo próprio. Portanto podemos identificar
O que queremos é então
Passo 4
Calcular a razão
. Primeiro elevamos a velocidade ao quadrado:
Agora calculamos
Fazendo a divisão:
Passo 5
Como
é um número extremamente pequeno, podemos usar a aproximação de série (expansão binomial) para
. Para
vale
Aqui
. Assim
Substituindo o valor numérico encontrado:
Passo 6
Agora calculamos
. Usando
e a aproximação para
,
Distribuindo:
Calculando o termo pequeno:
Portanto
Passo 7
Interpretação do resultado: o observador no solo medirá um intervalo ligeiramente maior que o relógio no avião, mas a diferença é minúscula (da ordem de alguns nanossegundos para uma hora). Escrevendo o valor com todos os dígitos relevantes: