Como a relutância magnética \mathcal{R} é calculada? Que quantidade de campo é calculada dividindo-se a força magneto motriz \mathcal{F} pela relutância \mathcal{R} ?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  1. Como calcular a relutância magnética \mathcal{R}.
  2. Que quantidade obtemos ao dividir a força magneto-motriz \mathcal{F} pela relutância \mathcal{R}.
Informações e notação que vamos usar (fornecidas/implícitas pelo enunciado):
  • \mathcal{F} = força magneto-motriz (normalmente em ampere-voltas, ou ampere-turns, \mathrm{A\cdot turn}).
  • \Phi = fluxo magnético (em weber, \mathrm{Wb}).
  • l = comprimento do caminho magnético (m).
  • A = área da seção transversal por onde passa o fluxo (m ^2).
  • \mu = permeabilidade do material do núcleo (H/m), com \mu=\mu_0\mu_r.
  • \mu_0 = permeabilidade do vácuo e \mu_r = permeabilidade relativa do material.

Passo 2

Conceitos fundamentais (explicação didática, bem devagar):
  • A força magneto-motriz \mathcal{F} é a “tensão” que provoca um circuito magnético — análoga à tensão elétrica. Em bobinas, \mathcal{F}=N I (número de espiras vezes corrente), jurando que cada espira dá um “turn”.
  • O fluxo magnético \Phi é a quantidade de campo magnético que atravessa uma área — análogo à corrente elétrica que atravessa um circuito.
  • A intensidade de campo magnético \mathbf{H} e a densidade de fluxo \mathbf{B} relacionam-se por \mathbf{B}=\mu\mathbf{H}. Aqui \mu diz o quanto o material “deixa passar” o campo (permeabilidade).
  • A relutância \mathcal{R} é a oposição do circuito magnético ao estabelecimento do fluxo, análoga à resistência elétrica R_{\text{el}} (que se define por V=R_{\text{el}} I). Para magnéticos usamos \mathcal{F}=\mathcal{R}\,\Phi.

Passo 3

Derivação da fórmula da relutância passo a passo (sem pular etapas):
  1. Ampère para um circuito magnético (versão integral simplificada) nos diz que a mmf total ao longo do caminho magnético vale a circulação de \mathbf{H}:
\oint \mathbf{H}\cdot d\mathbf{l} = \mathcal{F}.
Se H for aproximadamente uniforme ao longo do comprimento l, então
H=\dfrac{\mathcal{F}}{l}.
  1. Usamos a relação entre \mathbf{B} e \mathbf{H}:
B=\mu H.
Substituindo H,
B=\mu\dfrac{\mathcal{F}}{l}.
  1. O fluxo magnético \Phi atravessando a seção A (assumindo B uniforme) é
\Phi = B A = \mu\dfrac{\mathcal{F}}{l}\,A.
  1. Reorganizando para obter a relutância \mathcal{R}=\dfrac{\mathcal{F}}{\Phi}:
\mathcal{R}=\dfrac{\mathcal{F}}{\Phi}=\dfrac{l}{\mu A}.
Conclusão: essa é a fórmula básica da relutância para um trecho de material com comprimento l e seção A.

Passo 4

Formas alternativas e interpretação prática:
  • Como \mu=\mu_0\mu_r, podemos escrever
\mathcal{R}=\dfrac{l}{\mu_0\mu_r A}.
  • Definindo a relutividade \nu=\dfrac{1}{\mu}, temos também
\mathcal{R}=\nu\dfrac{l}{A}.
  • Unidade: \mathcal{R} tem unidades de \dfrac{\mathrm{A\cdot turn}}{\mathrm{Wb}} (ou simplesmente \mathrm{A/Wb} se contarmos corrente equivalente); numericamente funciona como “resistência magnética”. Em termos práticos, quanto maior l e menor A e \mu, maior a relutância.

Passo 5

O que se obtém dividindo \mathcal{F} por \mathcal{R}:
  • A definição mesma dá
\Phi=\dfrac{\mathcal{F}}{\mathcal{R}}.
Ou seja, dividir a força magneto-motriz pela relutância fornece o fluxo magnético \Phi (em weber). Se quiser a densidade de fluxo B, basta dividir \Phi pela área:
B=\dfrac{\Phi}{A}=\dfrac{\mathcal{F}}{\mathcal{R}A}.

Passo 6

Exemplo numérico rápido (para fixar a ideia — faça parecido na prova):
  • Suponha l=0,5\\ \mathrm{m}, A=1{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{m^2} e \mu_r=1000.
  • Primeiro \mu=\mu_0\mu_r com \mu_0\approx4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m}\approx1{,}2566\times10^{-6}\\ \mathrm{H/m}. Então \mu\approx1{,}2566\times10^{-3}\\ \mathrm{H/m}.
  • Relutância:
\mathcal{R}=\dfrac{l}{\mu A}=\dfrac{0,5}{1{,}2566\times10^{-3}\cdot 1{,}0\times10^{-4}}\approx 3{,}98\times10^{6}\\ \text{(A·turn)/Wb}.
  • Se \mathcal{F}=100\\ \mathrm{A\cdot turn}, o fluxo é
\Phi=\dfrac{\mathcal{F}}{\mathcal{R}}\approx \dfrac{100}{3{,}98\times10^{6}}\approx 2{,}51\times10^{-5}\\ \mathrm{Wb}.
Esse tipo de conta é exatamente o que você fará na prova: calcule \mathcal{R} com a fórmula geométrica e depois \Phi=\mathcal{F}/\mathcal{R}.

Resposta

\displaystyle \mathcal{R}=\dfrac{l}{\mu A}=\dfrac{l}{\mu_0\mu_r A}
\displaystyle \Phi=\dfrac{\mathcal{F}}{\mathcal{R}} (ou seja, divide-se \mathcal{F} por \mathcal{R} para obter o fluxo magnético \Phi, em weber)

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