Reparametrize pelo comprimento de arco as seguintes curvas:
r(t)=(1-t, 2+2 t, 3 t), 0 <= t <= 1.

Passo 1

O enunciado pede a reparametrização pelo comprimento de arco da curva
vec r(t)=(1-t,,2+2t,,3t)
para 0<= t<=1. O que precisamos fazer é:
1. calcular a velocidade vec r'(t) e seu módulo,
2. obter a função comprimento de arco s(t),
3. inverter essa relação para achar t(s),
4. substituir t(s) em vec r(t) para obter a curva em função de s.

Passo 2

Derivando vec r(t) em relação a t e calculando o módulo, temos
vec r'(t)=(-1,,2,,3),
logo
|vec r'(t)|=raiz(-1)^2+2^2+3^2=raiz1+4+9=raiz14

Passo 3

Como a velocidade é constante, o comprimento de arco desde t=0 até t é
s(t)=integral0^t|vec r'(u)|,du =integral0^traiz14,du =traiz14
Dessa forma, o parâmetro s varia de 0 até raiz14 e podemos inverter
t=sraiz14

Passo 4

Substituindo t(s)=tfracsraiz14 em vec r(t), obtemos a reparametrização por comprimento de arco:
vec r(s) =l(1-sraiz14,;2+2sraiz14,;3sraiz14r),
com 0<= s<= raiz14.

Resposta

A reparametrização por comprimento de arco é
boxedvec r(s)=l(1-tfracsraiz14,;2+tfrac2sraiz14,;tfrac3sraiz14r), 0<= s<= raiz14

Exercícios relacionados