Determine:
o vetor normal e a curvatura de r(t)=(t, 3 cos (t), 3 sen(t));

Passo 1

O enunciado pede o vetor normal unitário N(t) e a curvatura kappa(t) da curva parametrizada por
vec r(t) = l(t,;3cos t,;3sen tr)
O conteúdo envolvido é o cálculo de derivadas, a definição de curvatura
kappa = |vec r'times vec r''||vec r'|^3
e a obtenção do vetor normal unitário via
T = vec r'|vec r'|, N = T'|T'|

Passo 2

Calculemos as derivadas primeiras e segundas:
vec r'(t) = l(1,;-3sen t,;3cos tr),
vec r''(t) = l(0,;-3cos t,;-3sen tr)
Note que
|vec r'(t)| = raiz1 + 9sen^2 t + 9cos^2 t = raiz1+9 = raiz10

Passo 3

Usando a fórmula da curvatura:
vec r'(t)times vec r''(t) = i & j & k 1 & -3sen t & 3cos t 0 & -3cos t & -3sen t = (9,;3sen t,;-3cos t),
|vec r'times vec r''| = raiz9^2 + (3sen t)^2 +(-3cos t)^2 = raiz81 +9(sen^2 t+cos^2 t) = raiz90 = 3raiz10
Logo,
kappa(t) = 3raiz10(raiz10)^3 = 3raiz1010raiz10 = 310

Passo 4

Para o vetor normal, primeiro obtemos o versor tangente:
T(t) = vec r'(t)|vec r'(t)| = l(tfrac1raiz10,;-tfrac3raiz10sen t,;tfrac3raiz10cos tr)
Diferenciando:
T'(t) = l(0,;-tfrac3raiz10cos t,;-tfrac3raiz10sen tr),
|T'(t)| = 3raiz10raizcos^2 t + sen^2 t = 3raiz10

Passo 5

O vetor normal unitário é
N(t) = T'(t)|T'(t)| = l(0,;-cos t,;-sen tr)

Resposta

O vetor normal unitário é
N(t) = l(0,;-cos t,;-sen tr),
e a curvatura é
kappa(t) = tfrac310

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