Reparametrize a curva pelo comprimento de arco a partir do ponto onde t=0 na direção crescente de t.
(d) r(t)=(sin (e^t), cos (e^t), raiz3 e^t).

Passo 1

O enunciado pede para reparametrizar a curva
r(t)=l(sin(e^t),;cos(e^t),;raiz3,e^tr)
pelo comprimento de arco s medido a partir de t=0 no sentido de t crescente.
O conteúdo usado será curvas em R^3, cálculo do vetor derivada, módulo, integral para comprimento de arco e inversão da relação s(t).

Passo 2

Calculamos o vetor derivada r'(t) e seu módulo.
As componentes são
ddtsin(e^t)=e^tcos(e^t), ddtcos(e^t)=-,e^tsin(e^t), ddtl(raiz3,e^tr)=raiz3,e^t
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|r'(t)| = raizl(e^tcos(e^t)r)^2 + l(-e^tsin(e^t)r)^2 + l(raiz3,e^tr)^2 = raize^2tl(cos^2(e^t)+sin^2(e^t)r)+3e^2t =2,e^t

Passo 3

O comprimento de arco desde t=0 até t é
s(t)=integral0^t|r'(u)|,du =integral0^t2,e^u,du =2l(e^t-1r)

Passo 4

Invertendo a relação s=2(e^t-1) para obter t em função de s, temos
e^t=1+s2 Longrightarrow t(s)=ln!l(1+tfracs2r)

Passo 5

Substituímos t(s) em r(t) para obter a parametrização por arco. Como e^t(s)=1+tfracs2, resulta
R(s) =l(sinl(1+tfracs2r),; cosl(1+tfracs2r),; raiz3,l(1+tfracs2r)r),
com s>=0.

Resposta

boxed R(s) =l(sinl(1+tfracs2r),;cosl(1+tfracs2r),;raiz3,l(1+tfracs2r)r), s>=0

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