Represente e calcule as densidades atômicas lineares (DL) para as direções [100], [110] e [111] nas estruturas cúbica simples (CS), cúbica de corpo centrado (CCC) e cúbica de face centrada (CFC).

Passo 1

O enunciado pede para representarmos e calcularmos as densidades atômicas lineares (DL) ao longo das direções [100], [110] e [111] em três redes cúbicas: cúbica simples (CS), cúbica de corpo centrado (CCC) e cúbica de face centrada (CFC). Vamos usar a definição de densidade linear: o número de centros atômicos que caem numa linha de comprimento igual ao menor vetor de rede naquelas direções, dividido por esse comprimento.

Passo 2

Definimos para uma direção genérica [u v w]:
– o comprimento do segmento de rede é
L_{[uvw]} = a\,\sqrt{u^2 + v^2 + w^2}
– o número de átomos cujos centros estão exatamente nesse segmento (entre um nó de rede e o nó equivalente seguinte) chamamos de N_{[uvw]}.
Então
\mathrm{DL}_{[uvw]} = \frac{N_{[uvw]}}{L_{[uvw]}}.

Passo 3

Cúbica Simples (CS)
– Na CS não há nenhum átomo interno ao segmento além dos cantos. Entre um canto e o canto equivalente seguinte só há um átomo por célula de repetição, isto é, N_{[uvw]}=1.
Portanto:
\mathrm{DL}^{\rm CS}_{[100]} = \frac{1}{a},\quad \mathrm{DL}^{\rm CS}_{[110]} = \frac{1}{a\sqrt{2}},\quad \mathrm{DL}^{\rm CS}_{[111]} = \frac{1}{a\sqrt{3}}.

Passo 4

Cúbica de Corpo Centrado (CCC)
– Em [100] e [110] não há átomos além dos cantos, então N=1 e
\mathrm{DL}^{\rm CCC}_{[100]} = \frac{1}{a},\quad \mathrm{DL}^{\rm CCC}_{[110]} = \frac{1}{a\sqrt{2}}.
– Em [111] o segmento passa pelo átomo central de corpo (em (a/2,a/2,a/2)), de modo que N_{[111]}=2. Logo
\mathrm{DL}^{\rm CCC}_{[111]} = \frac{2}{a\sqrt{3}}.

Passo 5

Cúbica de Face Centrada (CFC)
– Em [100] só aparecem os cantos, N=1, então
\mathrm{DL}^{\rm CFC}_{[100]} = \frac{1}{a}.
– Em [110] há o canto e o átomo do centro da face (a/2,a/2,0), totalizando N=2, daí
\mathrm{DL}^{\rm CFC}_{[110]} = \frac{2}{a\sqrt{2}}.
– Em [111] o caminho não cruza nenhuma face nem corpo além dos cantos, então N=1 e
\mathrm{DL}^{\rm CFC}_{[111]} = \frac{1}{a\sqrt{3}}.

Resposta

CS: \mathrm{DL}_{[100]}=1/a,\;\mathrm{DL}_{[110]}=1/(a\sqrt{2}),\;\mathrm{DL}_{[111]}=1/(a\sqrt{3}).
CCC: \mathrm{DL}_{[100]}=1/a,\;\mathrm{DL}_{[110]}=1/(a\sqrt{2}),\;\mathrm{DL}_{[111]}=2/(a\sqrt{3}).
CFC: \mathrm{DL}_{[100]}=1/a,\;\mathrm{DL}_{[110]}=2/(a\sqrt{2}),\;\mathrm{DL}_{[111]}=1/(a\sqrt{3}).

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