Calcule para o \mathrm{BaTiO}_{3}
a) Os parâmetros de rede
b) Volume da célula
c) Densidade iônica linear para direção [111] e [110]?
d) Densidade iônica planar para o plano (110) (100)?
Raio do cátion \mathrm{A}-0,102 \mathrm{~nm}, raio do cátion \mathrm{B}-0,08 \mathrm{~nm}, raio do ânion -0,132 \mathrm{~nm}

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos tratar o perovskita \mathrm{BaTiO}_{3} (ABO _3) na estrutura cúbica ideal e calcular:
  • (a) o parâmetro de rede a,
  • (b) o volume da célula unitária,
  • (c) as densidades iônicas lineares ao longo das direções [111] e [110],
  • (d) as densidades iônicas planares nos planos (100) e (110).
    Para isso usaremos os raios iônicos fornecidos e a geometria típica do perovskita: cátion A nos vértices, cátion B no centro e ânions O nos centros das faces do cubo.

Passo 2

Determinando o parâmetro de rede a. Na rede cúbica de perovskita, cada íon B está no centro do cubo e toca os íons O nos centros das faces. Portanto a distância B O é metade da aresta do cubo:
r_{B}+r_{O}=\frac{a}{2}\,.
Inserindo r_{B}=0,080\\ \mathrm{nm} e r_{O}=0,132\\ \mathrm{nm} resulta
a=2\,(r_{B}+r_{O}) =2\,(0,080+0,132)\\ \mathrm{nm} =0,424\\ \mathrm{nm}\,.

Passo 3

Volume da célula unitária. Sendo cúbica,
V = a^{3} = (0,424\\ \mathrm{nm})^{3} \approx 0,0760\\ \mathrm{nm}^{3}\,.

Passo 4

Densidade iônica linear em [111].
Definição: número de íons cujo centro cai numa linha na direção [111] dividido pelo comprimento dessa linha dentro de uma célula.
Na direção [111] entre (0,0,0) e (a,a,a) (comprimento L=a\sqrt{3}) aparecem:
– nos extremos, dois cátions A, cada um compartilhado 1/ 2\to total 1 íon A;
– um cátion B em (\tfrac12,\tfrac12,\tfrac12) → total 1 íon B.
Logo são 2 íons em L=a\sqrt{3}, e
\rho_{L}[111] =\frac{2}{a\sqrt{3}} =\frac{2}{0,424\cdot\sqrt{3}}\\ \mathrm{nm}^{-1} \approx 2,72\\ \mathrm{nm}^{-1}\,.

Passo 5

Densidade iônica linear em [110].
Na direção [110] entre (0,0,0) e (a,a,0) (comprimento L=a\sqrt{2}) aparecem:
– nos extremos, dois cátions A, cada um compartilhado 1/ 2\to total 1 íon A;
– um ânion O em (\tfrac12,\tfrac12,0) → total 1 íon O.
Total 2 íons em L=a\sqrt{2}, então
\rho_{L}[110] =\frac{2}{a\sqrt{2}} =\frac{2}{0,424\cdot\sqrt{2}}\\ \mathrm{nm}^{-1} \approx 3,33\\ \mathrm{nm}^{-1}\,.

Passo 6

Densidade iônica planar no plano (100).
O plano (100) é a face do cubo de área a^{2}. Nele estão:
– quatro cátions A nos vértices da face, cada um compartilhado por 4 faces → 4\times\tfrac14=1 íon A;
– um ânion O no centro da face → 1 íon O.
Total 2 íons por área a^{2}, logo
\rho_{P}(100) =\frac{2}{a^{2}} =\frac{2}{(0,424)^{2}}\\ \mathrm{nm}^{-2} \approx 11,13\\ \mathrm{nm}^{-2}\,.

Passo 7

Densidade iônica planar no plano (110).
O primeiro plano (110) intercepta a célula numa área paralelogramo de área a^{2}\sqrt{2}. Sobre esse elemento planar ocorrem:
– quatro cátions A nos cantos (cada um \tfrac14) → total 1 íon A;
– dois ânions O nos centros de arestas (cada um \tfrac12) → total 1 íon O;
– um cátion B no interior do paralelogramo → 1 íon B.
Total 3 íons sobre área a^{2}\sqrt{2}, daí
\rho_{P}(110) =\frac{3}{a^{2}\sqrt{2}} =\frac{3}{(0,424)^{2}\,\sqrt{2}}\\ \mathrm{nm}^{-2} \approx 11,80\\ \mathrm{nm}^{-2}\,.

Resposta

(a) a=0,424\\ \mathrm{nm}
(b) V=a^{3}=0,0760\\ \mathrm{nm}^{3}
(c) \rho_{L}[111]=2,72\\ \mathrm{nm}^{-1}, \rho_{L}[110]=3,33\\ \mathrm{nm}^{-1}
(d) \rho_{P}(100)=11,13\\ \mathrm{nm}^{-2}, \rho_{P}(110)=11,80\\ \mathrm{nm}^{-2}

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